04 三角变换法

说说

在三角形中，总有个式子成立。即：

$A+B+C=\pi$

这在有些时候非常有用。

比如 $A=\pi -(B+C)$

$sinA=sin(\pi -(B+C))$

例题

例题 1

在三角形 $\mathrm{△}ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $\frac{cosA}{a}+\frac{cosB}{b}=\frac{sinC}{c}$，$a^2+b^2-a^2=\frac{6}{5}bc$，则 $tanB=$____。

解：

根据余弦定理，

$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3}{5}$

因为 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$

所以

$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=\frac{sinC}{cinC}=1$

$\because \frac{cosA}{sinA}=\frac{3}{4}$

$\therefore \frac{3}{4}+\frac{cosB}{sinB}=1$

$\therefore tanB=4$

例题 2

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，设角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，且 $bsin\frac{B+C}{2}=asinB,sinC=3sinB$.

（1）求 $A$.

（2）计算 $\frac{sinA}{sinBsinC}$ 的值。

解：

（1）

$sinB\cdot sin\frac{B+C}{2}=sinAsinB$

$sin\frac{B+C}{2}=sinA$

$\because A+B+C=\pi$

$\therefore cos\frac{B+C}{2}=sin\frac{\pi -A}{2}=cos\frac{A}{2}=sinA=2sin\frac{A}{2}\cdot cos\frac{A}{2}$

$\therefore sin\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$

$\frac{A}{2}\in (0,\frac{\pi }{2})$

$\frac{A}{2}=\frac{\pi }{6}$

$A=\frac{\pi }{3}$

（2）

$\frac{sinA}{sinBsinC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3si{n}^B}$

所以我们只需要求出 $sinB$ 的值。

因为 $A=\frac{\pi }{3},sinC=3sinB,A+B+C=\pi$

$\therefore sin(\frac{2}{3}\pi -B)=3sinB$

$sin\frac{2}{3}\pi \cdot cosB-cos\frac{2}{3}\pi \cdot sinB=3sinB$

$\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB=3sinB$

$\frac{\sqrt{3}}{2}cosB=\frac{5}{2}sinB$

$tanB=\frac{\sqrt{3}}{5}$

$sinB=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

$y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\times \frac{3}{4\times 7}}$

$y=\frac{14\sqrt{3}}{9}$