14 追及相遇 - 距离最值与相遇次数

题型特征

像下面这样的题，需要分析相遇次数、最大、最小距离。

如图所示，A、B 两物块（可视为质点）相距 $7m$，物块 A 以 $v_A=4m/s$ 的速度向右匀加速运动，加速度大小为 $a=2m/s^2$，而物块 B 向右匀速运动，速度为 $v_B=10m/s$，那么下列说法正确的是（）

$A.t=7s\mathrm{时}\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{块}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

$B.t=3s\mathrm{时}\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{块}\mathrm{相}\mathrm{距}\mathrm{最}\mathrm{远}$

$C.\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{块}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{远}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{为}16m$

$D.\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{块}\mathrm{能}\mathrm{相}\mathrm{遇}\mathrm{两}\mathrm{次}$

解

见下。

追和甩

分析某时刻两个物体的关系是追还是甩，只需要分析此时前车、后车的速度 $v_{\mathrm{领}\mathrm{先}}$ 和 $v_{\mathrm{落}\mathrm{后}}$，不需要分析此时的加速度。

若 $v_{\mathrm{落}\mathrm{后}}>v_{\mathrm{领}\mathrm{先}}$，此时是落后的车在追前方领先的车。 若 $v_{\mathrm{落}\mathrm{后}}<v_{\mathrm{领}\mathrm{先}}$，此时是落后的车被前方领先的车给甩。

潜力

其实就是加速度

我们这样规定以方便研究：

潜力越大，越往后速度越快；

潜力排行：加速运动 > 匀速运动 > 减速运动。

追及相遇的几种情况

1. 领先车又快，潜力又大；距离越拉越大，必追不上。不研究。
2. 落后车又快，潜力又大；距离越来越小，必追上，不研究。
3. 领先车快，落后车潜力大；有研究价值。
4. 领先车潜力大，落后车快；有研究价值。

领先车快，落后车潜力大

两车的距离先远后近，当 $v_{\mathrm{落}}=v_{\mathrm{领}}$ 时，两车相距最远。

两车必定只相遇一次。

领先车潜力大，落后车速度快

两车的距离先进后远。（再然后有可能又进，然后又远）

当 $v_{\mathrm{落}}=v_{\mathrm{领}}$ 时，若两车的距离

$x>0$，则落后车永远追不上；此时的 x 是最小距离。相遇 0 次。

$x=0$，正好挨着，之后又被拉开。相遇 1 此。

$x<0$，刚开始领先的车被反超了，但是后面还会再次重新领先。相遇 2 次。

计算距离最值

如果需要计算距离最值，我们其实不需要首先判断两物体相遇属于什么情况。

只需要计算出两物体的共速时的距离（矢量），根据距离的正负来判断属于追及相遇情况的哪种。

可能需要算

1. 达到共速所需的时间
2. 将时间代入距离公式算距离

$x=d_0+x_{\mathrm{领}}-x_{\mathrm{落}}$

例题

题 1

一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以 $3m/s^2$ 的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 $6m/s$ 的速度匀速驶来，从后面超过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？（）

$A.2.0s6m$

$B.2.5s4m$

$A.3.0s6m$

$A.2.0s4m$

解

$t=\frac{v}{a}=\frac{6}{3}=2s$

$x=6t-\frac{1}{2}\times 3t^2$

$x^{\prime }=6\times 2-\frac{3}{2}\times 4$

$=12-6$

$=6m$

因为 $x^{\prime }$ 为正，所以领先车还是领先。

可以得出经 2s 后，相距 6m 最远。

选 $A$

题 2

在同一水平面上，一辆汽车从静止开始以 $1m/s^2$ 的加速度前进，有一人在车后与车相距 $x_0=25m$ 处，同时开始以 $6m/s$ 的速度匀速追车，人与汽车前进方向相同。则下列结论正确的是（）

$A.\mathrm{人}\mathrm{能}\mathrm{追}\mathrm{上}\mathrm{汽}\mathrm{车}，\mathrm{追}\mathrm{赶}\mathrm{过}\mathrm{程}\mathrm{中}\mathrm{人}\mathrm{跑}\mathrm{了}36m$

$B.\mathrm{人}\mathrm{不}\mathrm{能}\mathrm{追}\mathrm{上}\mathrm{汽}\mathrm{车}，\mathrm{人}\mathrm{车}\mathrm{最}\mathrm{近}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{是}7m$

$C.\mathrm{人}\mathrm{能}\mathrm{追}\mathrm{上}\mathrm{汽}\mathrm{车}，\mathrm{追}\mathrm{上}\mathrm{前}\mathrm{人}\mathrm{共}\mathrm{跑}\mathrm{了}43m$

$D.\mathrm{人}\mathrm{不}\mathrm{能}\mathrm{追}\mathrm{上}\mathrm{汽}\mathrm{车}，\mathrm{且}\mathrm{汽}\mathrm{车}\mathrm{开}\mathrm{动}\mathrm{后}\mathrm{人}\mathrm{车}\mathrm{相}\mathrm{距}\mathrm{越}\mathrm{来}\mathrm{越}\mathrm{远}$

解

达到共速的时间 $t=\frac{v}{a}=\frac{6}{1}=6s$

$x_{\mathrm{领}}=\frac{1}{2}{t}^2$

$x_{\mathrm{落}}=6t$

$x=25+\frac{1}{2}{t}^2-6t$

$x_6=25+\frac{1}{2}\times 36-36$

$=25-18$

$=7>0$

所以不可能追上汽车。最近为 7m。距离先近后大。

选 $B$

题 3

如图所示，A、B 两物块（可视为质点）相距 $7m$，物块 A 以 $v_A=4m/s$ 的速度向右匀加速运动，加速度大小为 $a=2m/s^2$，而物块 B 向右匀速运动，速度为 $v_B=10m/s$，那么下列说法正确的是（）

$A.t=7s\mathrm{时}\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{块}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

$B.t=3s\mathrm{时}\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{块}\mathrm{相}\mathrm{距}\mathrm{最}\mathrm{远}$

$C.\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{块}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{远}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{为}16m$

$D.\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{块}\mathrm{能}\mathrm{相}\mathrm{遇}\mathrm{两}\mathrm{次}$

解

因为 A 的潜力大，但速度小，所以 A，B 必相遇，且相遇一次。所以排除 D。

$v=v_0+at$

$4+2t=10$

$t=3s$

$x_{\mathrm{领}}=10t$

$x_{\mathrm{落}}=4t+t^2$

$x=7+6t-t^2$

$x_3=7+18-9=16>0$

令 $0=7+6t-t^2$

解得 $t=7$

所以选 $ABC$

题 4

某自动驾驶汽车正以 $10m/s$ 的速度匀速行驶，雷达探测到汽车正前方 15m 处有一人正在与汽车同方向匀速运动，人的速度为 $1m/s$，汽车电脑通过分析运算，将控制信息传递给汽车“刹车”系统，汽车立即开始匀减速运动，为使汽车避免与人相撞，则“汽车系统”设置的安全刹车加速度至少为（）

$A.3.3m/s^2$

$B.2.7m/s^2$

$C.2.1m/s^2$

$D.1.5m/s^2$

解

设加速度为 a（矢量）

$1=10+at$

$t=-\frac{9}{a}$

$x_{\mathrm{领}}=t$

$x_{\mathrm{落}}=10t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$\mathrm{\Delta }x=15+t-10t-\frac{1}{2}a{t}^2$

$=15-9t-\frac{1}{2}a{t}^2$

$=15+\frac{81}{a}-\frac{81}{2a}$

$=15+\frac{81}{2a}⩾0$

$\frac{81}{2a}⩾-15$

$81⩽-30a$

$a⩽-\frac{81}{30}=-2.7$

选 $B$

题 5

在一条平直的公路上，乙车以 $10m/s$ 的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为 $15m/s$，加速度大小为 $0.5m/s^2$ 的匀减速运动，则两车初始距离 L 满足什么条件时可以使：

（1）两车不相遇；

（2）两车只相遇一次；

（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。

解

$10=15-0.5t$

$t=\frac{5}{0.5}=10$

$x_{\mathrm{领}}=10t$

$x_{\mathrm{落}}=15t-\frac{1}{4}{t}^2$

$x=10t+L-15t+\frac{1}{4}{t}^2$

$x_{10}=100+L-150+\frac{1}{4}\times 100$

$=L-25$

（1）

$L>25$

（2）

$L=25$

（3）

$L<25$