难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

设 $D(x_1,y_1),E(x_2,y_2),F(x_2,-y_2),G(t,0)$

所以 $\frac{-y_2}{x_2-t}=\frac{y_1+y_2}{x_1-x_2}$

$t=\frac{x_2{y}_1+x_1{y}_2}{y_1+y_2}$

设直线 $DE:x=my-1$

则 $t=\frac{(m{y}_2-1)y_1+(m{y}_1-1)y_2}{y_1+y_2}$

$=\frac{2m{y}_1{y}_2-(y_1+y_2)}{y_1+y_2}$

$=\frac{2m{y}_1{y}_2}{y_1+y_2}-1$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ x=my-1\end{array}$

$x^2+4y^2-4=0$

$(my-1{)}^2+4y^2-4=0$

$(m^2+4)y^2-2my-3=0$

$y_1{y}_2=\frac{-3}{m^2+4},y_1+y_2=\frac{2m}{m^2+4}$

$t=\frac{2m(-3)}{2m}-1=-4$

$S=\frac{1}{2}\times 3\times |y_1-y_2|$

$=\frac{3}{2}\times \frac{\sqrt{4\times 4\times 1\times (m^2+4-1)}}{4+m^2}$

$=\frac{3}{2}\times \frac{4\sqrt{m^2+3}}{m^2+4}$

$=6\frac{\sqrt{m^2+3}}{m^2+4}$

令 $\sqrt{m^2+3}=a,a>\sqrt{3}$

$S=6\frac{a}{a^2+1}=\frac{6}{a+\frac{1}{a}}$

$a+\frac{1}{a}\in (\frac{4\sqrt{3}}{3},+\mathrm{\infty })$

所以 $\frac{1}{a+\frac{1}{a}}\in (0,\frac{3}{4\sqrt{3}})$

$S\in (0,\frac{3\sqrt{3}}{2})$

TIP

过 $y$ 轴上（或 $x$ 轴上）的一个定点，交椭圆于 2 个交点 $A,B$。作其中一个交点 $A$ 关于 $y$ 轴（或 $x$ 轴）的对称点 $A^{\prime }$，则 $A^{\prime }B$ 直线与 $y$ 轴（或 $x$ 轴）的交点为一个定值。