难度： 困难

标签： 导数问题放缩裂项相消

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=ax+blnx+1$，此函数在点 $(1,f(1))$ 处的切线为 $x$ 轴。

（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间和最大值。

（2）当 $x>0$ 时，证明：$\frac{1}{x+1}<ln\frac{x+1}{x}<\frac{1}{x}$

（3）已知 $n\in N^{\ast },n\ge 2$，求证：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}<lnn<1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}$

解

第一问

$f(x)=ax+blnx+1$

$(1,f(1))=(1,a+1)=(1,0)$

$f^{\prime }(x)=a+\frac{b}{x}$

$f^{\prime }(1)=a+b=0$

$a=-1,b=1$

$f(x)=-x+lnx+1$

$f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x}$

在 $x\in (0,1),f^{\prime }(x)>0,f(x)$ 单调递增

在 $x\in (1,+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)<0,f(x)$ 单调递减

$f(x{)}_{max}=f(1)=0$

第二问

证明 $\frac{1}{x+1}<ln\frac{x+1}{x}<\frac{1}{x}$

一

证明 $\frac{1}{x+1}<ln\frac{x+1}{x}$

即证 $1-\frac{x}{x+1}<ln\frac{x+1}{x}$

$\frac{x}{x+1}>1+ln\frac{x}{x+1}$

令 $h(x)=x-lnx-1$

$h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$

在 $x\in (0,1),h^{\prime }(x)<0,h(x)$ 单调递减

在 $x\in (1,+\mathrm{\infty }),h^{\prime }(x)>0,h(x)$ 单调递增

所以 $h(x)⩾h(x{)}_{min}=h(1)=0,\mathrm{当}x=1$ 时取等

所以 $\frac{x}{x+1}>ln\frac{x}{x+1}+1$

题目得证。

二

再证 $ln\frac{x+1}{x}<\frac{1}{x}$

设 $g(x)=x-ln(x+1)$

$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}>0,x>0$

所以 $x\in (0,+\mathrm{\infty }),g(x)$ 单调递增，$g(0)=0$

所以 $g(x)>0,x>0$

所以 $\frac{1}{x}>ln\frac{x+1}{x}$

第三问

先证明左边 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}<lnn$

$S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

$=1-\frac{1}{n}$（错误，这是调和级数是不收敛的，目前没有求和公式，这里使用不了裂项相消）

要证 $1-\frac{1}{n}<lnn$

即证 $\frac{1}{n}>1+ln\frac{1}{n}$

由第二问知 $x⩾1+lnx,x>0,x=1\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等}$

所以 $\frac{1}{n}>1+ln\frac{1}{n}$

接下来证明右边 $lnn<1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}$

如果还是像刚才一样使用裂项相消，然后变成证 $lnn<2-\frac{1}{n-1}$，你会发现证不出来。

不管是使用放缩，还是处理未知极值点的手段都做不出来。

这时候我们就需要想到第二问的作用了。为什么不设 2 问，而要设 3 问呢？也许是需要使用到第 2 问的结论。

正确做法

利用第二问的结论进行裂项相消。

由第二问左边的结论得，

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}<ln2-ln1\\ \frac{1}{3}<ln3-ln2\\ ...\\ \frac{1}{n-1+1}<ln(n)-ln(n-1)\end{array}$

左右两边相加，得

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}<lnn-ln1=lnn$

所以得证。

由第二问右边的结论得，

$\{\begin{array}{l}ln2-ln1<1\\ ln3-ln2<\frac{1}{2}\\ ln4-ln3<\frac{1}{3}\\ ...\\ ln((n-1)+1)-ln(n-1)<\frac{1}{n-1}\end{array}$

左右两边相加，的

$lnn<1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}$

得证。