难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题弦长公式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$2c=2,c=1$

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}a=2$

$a=\sqrt{2},b=1$

$E:\frac{x^2}{2}+y^2=1$

$M(-2,-1),F(-1,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$|MA||BF|=|MB||AF|$

$\frac{|MA|}{|MB|}=\frac{|AF|}{|BF|}$

$\frac{y_1+1}{y_2+1}=\frac{-y_1}{y_2}$

$y_1{y}_2+y_2=-y_1{y}_2-y_1$

$2y_1{y}_2+y_1+y_2=0$

设 $l_{AB}:x=y-1$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+y^2=1\\ x=y-1\end{array}$

$3y^2-2y-1=0$

$y_1{y}_2=-\frac{1}{3},y_1+y_2=\frac{2}{3}$

$2y_1{y}_2+y_1+y_2=0$

所以 $|MA|\cdot |BF|=|MB|\cdot |AF|$

解（2）

设 $l_{AB}:x=my-1$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+y^2=1\\ x=my-1\end{array}$

$(m^2+2)y^2-2my-1=0$

$y_1{y}_2=\frac{-1}{m^2+2},y_1+y_2=\frac{2m}{m^2+2}$

$M$ 点：$x=-2$ 时，$-2=my-1,y=\frac{-1}{m}$

$M(-2,\frac{-1}{m})$

设 $l_{N}D:x=m_{2}y-1,m_2=-\frac{1}{m}$

同理，$N(-2,\frac{-1}{m_2})$

设 $C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$

$|MA|=\sqrt{1+m^2}|y_1+\frac{1}{m}|=\sqrt{1+m^2}|\frac{1+m{y}_1}{m}|$

$|MB|=\sqrt{1+m^2}|y_2+\frac{1}{m}|=\sqrt{1+m^2}|\frac{1+m{y}_2}{m}|$

$|NC|=\sqrt{1+m_2^2}|y_3+\frac{1}{m_2}|$

$|ND|=\sqrt{1+m_2^2}|y_4+\frac{1}{m_2}|$

所以 $\frac{1}{MA}+\frac{1}{MB}=\frac{MA+MB}{MA\cdot MB}$

$=\frac{\sqrt{m^2+1}|\frac{2+m(y_1+y_2)}{m}|}{(m^2+1)\frac{(m{y}_1+1)(m{y}_2+1)}{m_2}}$

$=\frac{\sqrt{m^2+1}}{m^2+1}\frac{2+\frac{2m^2}{m^2+2}}{m}\frac{m^2}{(m{y}_1+)(m{y}_2+1)}$

$=\frac{\sqrt{m^2+1}}{m^2+1}\frac{4m^2+4}{(m^2+2)m}\frac{m^2}{(m{y}_1+1)(m{y}_2+1)}$

$=\frac{4\sqrt{m^2+1}}{(m^2+2)m}\frac{m^2}{m^2{y}_1{y}_2+m(y_1+y_2)+1}$

$=\frac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+2}\frac{m}{\frac{-m^2}{m^2+2}+\frac{2m^2}{m^2+2}+1}$

$=\frac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+2}\frac{m(m^2+2)}{2m^2+2}$

$=\frac{4\sqrt{m^2+1}}{2(m^2+1)}=\frac{2}{\sqrt{m^2+1}}$

同理，$\frac{1}{|NC|}+\frac{1}{|ND|}=\frac{2}{\sqrt{m_2^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{m^2}+1}}$

$=\frac{2\sqrt{m^2}}{\sqrt{m^2+1}}$

$\mathrm{求}=\frac{2}{\sqrt{m^2+1}}+\frac{2|m|}{\sqrt{m^2+1}}$

$=2\frac{1+|m|}{\sqrt{m^2+1}}$

$=2\sqrt{\frac{1+2|m|+m^2}{m^2+1}}$

$=2\sqrt{1+\frac{2|m|}{m^2+1}}=2\sqrt{1+\frac{2}{|m|+\frac{1}{|m|}}}⩽2\sqrt{1+\frac{2}{2}}=2\sqrt{2}$，当 $m=\pm 1$ 时取等。

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