03 复数例题

例题 1

若复数 $z$ 满足 $(1+2i)z=1-i$，则复数 $z$ 的虚部为（）

$A.\frac{3}{5}$

$B.-\frac{3}{5}$

$C.\frac{3}{5}i$

$D.-\frac{3}{5}i$

解：

$z=\frac{1-i}{1+2i}=\frac{(1-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{1-3i+2i^2}{1-4i^2}=\frac{-1-3i}{5}$

$=-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i$

$B.$

例题 2

已知复数 $\frac{a+2i}{2-i}$ 是纯虚数（$i$ 是虚数单位），则实数 $a$ 等于（）

$A.-4$

$B.4$

$C.1$

$D.-1$

解：

$a=1$

例题 3

$\frac{1+2i}{1-2i}$ 等于（）

解：

$-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$

例题 4

已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $iz=2z+1$，则 $z$ 等于（）

$A.-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$

$B.\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$

$C.2+i$

$D.2-i$

解：

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$

例题 5

已知 $z(1+i)=-1+7i$，$z$ 的共轭扶苏为 $z_g$，则 $|z_g|$ 等于（）

$A.\sqrt{2}$

$B.3+4i$

$C.5$

$D.7$

解：

$C$

例题 6

已知复数 $z$ 满足 $z^2=12+16i$，则 $z$ 的模为（）

$A.20$

$B.12$

$C.2\sqrt{5}$

$D.2\sqrt{3}$

解：

令 $z=a+bi$

所以 $z^2=a^2+2abi-b^2=(a^2-b^2)+2abi$

所以 $a^2-b^2=12$

$2ab=16$

$\therefore ab=8,a=\frac{8}{b}$

$\frac{64}{b^2}-b^2=12$

$b^4+12b^2-64=0$

$(b^2-4)(b^2+16)=0$

$b=\pm 2$

$\therefore \{\begin{array}{l}a=4\\ b=2\end{array}\mathrm{或}\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=-2\end{array}$

$z=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$

选 $C.$

例题 7

对于两个复数 $\alpha =1-i,\beta =1+i$，有下列四个结论：

1. $\alpha \beta =1$
2. $\frac{\alpha }{\beta =-i}$
3. $\frac{|\alpha }{\beta |=1}$
4. ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$

其中正确结论个数为（）

$A.1$

$A.2$

$A.3$

$A.4$

解：

第一个错，其余都对。

$C.$

例题 8

复数 $z$ 满足 $(2+i)z=|3-4i|$，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

$A.\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{象}\mathrm{限}$

$B.\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{象}\mathrm{限}$

$C.\mathrm{第}3\mathrm{象}\mathrm{限}$

$D.\mathrm{第}4\mathrm{象}\mathrm{限}$

解：

$\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5$

$z=\frac{5}{2+i}=\frac{5(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{5(2-i)}{5}=2-i$

选 $D$.