难度： 困难

标签： 导数题对数单身狗指数找基友

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=1+x-2sinx(x>0)$

（1）求 $f(x)$ 最小值

（2）证明：$f(x)>e^{-2x}$

第一问

$f(x)=1+x-2sinx(x>0)$

$f^{\prime }(x)=1-2cosx$

$2k\pi <x<\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in N,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$\frac{\pi }{3}+2k\pi <x<\frac{5\pi }{3}+2k\pi ,k\in N,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$\frac{5\pi }{3}+2k\pi <x<2k\pi ,k\in N,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

所以 $f(x{)}_{min}=f(\frac{\pi }{3})=1+\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}$

第二问

$1+x-2sinx>e^{-2x}$

$e^{2x}(1+x-2sinx)>1$

$e^{2x}(1+x-2sinx)-1>0$

令 $g(x)=e^{2x}(1+x-2sinx)-1$

$g^{\prime }(x)=2e^{2x}(1+x-2sinx)+e^{2x}(1-2cosx)$

$=e^{2x}(3+2x-4sinx-2cosx)$

$=e^{2x}(3+2x-2sinx-\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4}))$

$>0$

所以 $g(x)\uparrow ,g(x)>g(0)=0$

证毕。