01_集合

基本定义与表示方法

有元素 1，2，3。我们可以表示为一个集合 $\{1,2,3\}$。

三大特性

1. 确定性

每个元素都是确定的。

2. 互异性

元素都是唯一的。

3. 无序性

$\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$

表示符号

1 属于集合 1,2,3，数学中这样表示：

$1\in \{1,2,3\}$。

$6\notin \{1,2,3\}$。

常用集合：实数集

实数集用 $R$ 表示，表示所有的实数。与之相反的是虚数集，像 $\sqrt{-1}$ 就是虚数。

• 实数集 $R$
  • 有理数集 $Q$（可以用分式来表示的数 $\frac{p}{q}$）
    • 整数集 $Z$
      • 正整数集（用 $N_{+}$ 或 $N^{\ast }$ 表示，不包含 0）
      • 自然数集（用 $N$ 表示，包含 0）
    • 纯分数
  • 无理数集

集合表示方法

1. 列举法

比如 $\{1,2,3,4\}$，$\{(1,2),(3,4)\}$，$\{\mathrm{张}\mathrm{三}，\mathrm{李}\mathrm{四}\}$,$\{\mathrm{中}\mathrm{国}，\mathrm{美}\mathrm{国}\}$。

2. 描述法

比如 $A=\{x|x<5,x\in R\}$，表示所有小于 5 且是实数的数。

又比如 $B=\{x|x^2+5x+4=0\}=\{-1,-4\}$。

3. 区间法（常用）

比如 $(-\mathrm{\infty },5)$，

$A=\{x|1<x\le 3,x\in R\}=(1,3]$

集合之间的关系

• 子集

假设有 $A=\{1,2\}$，$B=1,2,3,5$，那么我们可以说 A 是 B 的子集。

用数学符号表示：$A\subseteq B$。

若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，则有 $A=B$。这是我们证明集合相等的方法。

• 真子集

若 $A\subseteq B$，且存在 $x\in B，\mathrm{且}x\notin A$，那么 A 是 B 的真子集，

记作 $A⫋B$。

• 空集

空集代表什么元素都没有的集合。用符号 $\mathrm{\varnothing }$ 表示。空集是任何集合的子集。

• 交集

表示两个集合的交集部分，用符号 $\bigcap$ 表示。

假设有 $A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5\}$，

那么 $A\bigcap B=\{3\}$。

• 并集

表示两个集合合并后的集合，用符号 $\bigcup$ 表示。

假设有 $A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5\}$，

那么 $A\bigcup B=\{1,2,3,4,5\}$。

• 补集

$C_{U}A$ 表示 A 在全集 U 中的补集。

假设全集 $U=(0,+\mathrm{\infty }),A=(1,3)$，

那么 $C_{U}A=(0,1]\bigcup [3,+\mathrm{\infty })$

• 集合个数

假设有集合 $A=1,2,3$，那么 A 的集合个数为 $card(A)=3=n$。

集合 A 子集有 $\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\}，\{1,3\}，\{2,3\}，\{1,2,3\}$ 8 个。

换句话说，如果 $card(B)=n$，那么

• B 的子集就有 $2^n$ 个
• B 的非空子集有 $2^n-1$ 个
• B 的真子集有 $2^n-1$ 个
• B 的非空真子集有 $2^n-2$ 个

集合互异性相关问题

题目一

已知集合 $A=\{1,3,a\}$，集合 $B=\{1,a^2-a+1\}$，求 $A\bigcup B$。

Details

解：

由互异性可得前提条件，$a\ne 1,a\ne 3,a^2-a+1\ne 1$，即

$a\ne 0,1,3$

分类：

1. 当 $3=a^2-a+1$，此时并集为 $\{1,3,a\}$

由 $3=a^2-a+1$ 得出，$a=2\mathrm{或}-1$。

2. 当 $a=a^2-a+1$，此时并集为 $\{1,3,a\}$

由 $a=a^2-a+1$ 得出，$a=1$。（舍去）

3. 当 $3\ne a^2-a+1\mathrm{且}a\ne a^2-a+1$ 时，此时并集为 $\{1,3,a,a^2-a+1\}$

也就是说 $a\ne -1\mathrm{或}1\mathrm{或}2$。

综上，

1. 当 $a=2\mathrm{或}-1$ 时，并集为 $\{1,3,a\}$
2. 当 $a\ne -1,0,1,2,3$ 时，并集为 $\{1,3,a,a^2-a+1\}$

题目二

已知 $A=\{3,3+m,3+5m\}$，$B=\{3,3p,3p^2\}$，若 $A=B$，求 m 和 p 的值。

Details

解：

由互异性得知前提条件，$m\ne 0,p\ne \pm 1$。

分类：

1. $\{\begin{array}{l}3+m=3p\\ 3+5m=3p^2\end{array}$

解得 $\{\begin{array}{l}p=1\\ m=?\end{array}$（舍去） 或 $\{\begin{array}{l}p=4\\ m=9\end{array}$

2. $\{\begin{array}{l}3+m=3p^2\\ 3+5m=3p\end{array}$

解得 $\{\begin{array}{l}p=1\\ m=?\end{array}$（舍去）或 $\{\begin{array}{l}p=-\frac{4}{5}\\ m=-\frac{27}{25}\end{array}$

综上，$\{\begin{array}{l}p=4\\ m=9\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}p=-\frac{4}{5}\\ m=-\frac{27}{25}\end{array}$

集合相等的证明方法

1. 一种方法是根据两个集合的元素相同，那么就得出两个集合相等。

2. 还有一种是根据集合相等的定义，$A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，那么说明 $A=B$。

例题 1

已知集合

$A=\{x|x=m+\frac{1}{6},m\in Z\}$，

$B=\{x|x=\frac{n}{2}-\frac{1}{3},n\in Z\}$，

$C=\{x|x=\frac{p}{2}+\frac{1}{6},p\in Z\}$，

求 A B C 之间的关系。

Details

解：

$A=\{x|x=\frac{3(2m)+1}{6},m\in Z\}$，2m 属于偶数。

$B=\{x|\frac{3(n-1)+1}{6},n\in Z\}$，n-1 属于 Z。

$C=\{x|\frac{3p+1}{6},p\in Z\}$

所以 $B=C，A\subseteq B$。

例题 2

已知集合 $A=\{x|x=14m+36n,m,n\in Z\}$，$B=\{x|x=2k,k\in Z\}$，求证 $A=B$。

Details

解：

TIP

总结起来就是凑形式。

子集相关问题

例题 1

写出满足条件 $\{a\}⫋P\subseteq \{a,b,c,d\}$ 的所有集合 P.

Details

解：

只要我们有一个明确的分类依据，就很好解题。依据的就是集合个数 $card(P)$.

因为 $\{a\}⫋P\subseteq \{a,b,c,d\}$，所以我们得出 $2\le card(P)\le 4$。

然后根据集合个数分类：

1. card(P) = 2

有 $\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\}$ 三个。

2. card(P) = 3

有 $\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\}$ 三个。

3. card(P) = 4

有 $\{a,b,c,d\}$ 一个。

综上，共有 7 个。

例题 2

集合 $A=\{X|2<X<4\}$，集合 $M=\{X|3<X<2K+1\}$，若集合 M 是集合 A 的子集，求实数 k 的取值范围。

Details

解：

要分情况，M 是空集还是非空集。

1. M 是空集

那么 $2K+1\le 3$，得出 $K\le 1$。

1. M 不是空集

前提条件为 $K>1$。然后需要保证 $2K+1\le 4$，也就是要保证 $K\le \frac{3}{2}$。所以 $1<K\le \frac{3}{2}$ 满足条件。

综上，k 的取值范围为 $(-\mathrm{\infty },\frac{3}{2}]$。

例题 3

设集合 $S=\{0,1,2,3,4,5\}$，$A$ 是 $S$ 的一个子集，当 $x\in A$ 时，若有 $x-1\notin A\mathrm{且}x+1\notin A$，则称 $x$ 为集合 $A$ 的一个“孤立元素”。那么集合 $S$ 中所有无“孤立元素”的 4 元子集有多少个？

Details

解：

根据最小元素来进行分类。

1. 0

$A=\{0,1,2,3\},\{0,1,3,4\},\{0,1,4,5\}$

2. 1

$A=\{1,2,3,4\},\{1,2,4,5\}$

3. 2

$A=\{2,3,4,5\}$

综上所述，共有 6 个。

集合的交并补混合运算

解法：

1，在数轴上画范围；2，画 Venn 图。

例题 1

设常数 $a\in R$，集合 $A=\{x|(x-1)(x-a)\ge 0\},B=\{x|x\ge a-1\}$.

(1) 若 $a=2$，求 $A\bigcap B$，$A\bigcap (C_{R}B)$；

(2) 若 $A\bigcup B=R$，求 a 的取值范围。

Details

解：

(1)

若 $a=2$，那么 $A=(-\mathrm{\infty },1]\bigcup [2,+\mathrm{\infty })$，$B=[1,+\mathrm{\infty })$。

所以 $A\bigcap B=\{1\}\bigcup [2,+\mathrm{\infty })$。

因为 $C_{R}B=(-\mathrm{\infty },1)$，所以 $A\bigcap (C_{R}B)=(-\mathrm{\infty },1)$。

(2)

分情况。

1. $a>1$ 的情况，

$A=(-\mathrm{\infty },1]\bigcup [a,+\mathrm{\infty })$，因为 $A\bigcup B=R$，所以要满足 $a-1\le 1$ 即 $a\le 2$。

所以 a 可以取 $1<a\le 2$ 范围内的值。

2. $a=1$ 的情况，

这种条件符合要求。

3. $a<1$ 的情况，

$A=(-\mathrm{\infty },a]\bigcup [1,+\mathrm{\infty })$，因为 $A\bigcup B=R$，所以要满足 $a-1\le a$，此式永远成立，所以满足要求。

综上，$a\in (-\mathrm{\infty },2]$。

例题 2

设 $U$ 为全集，对于集合 $M,N$，下列集合之间关系不正确的是（）

$A.M\bigcap N\subset M\bigcup N$

$B.(C_{U}M)\bigcup (C_{U}N)=C_U(M\bigcap N)$

$C.(C_{U}M)\bigcap (C_{U}N)=C_U(M\bigcup N)$

$D.(C_{U}M)\bigcap (C_{U}N)=C_U(M\bigcap N)$

Details

画 Veen 图进行求解，最终答案为 D.

集合新定义问题

例题 1

设 $M,P$ 是两个非空集合，定义 M 与 P 的差集为 $M-P=\{x|x\in M,x\notin P\}$。已知 $A=1,3,5,7$， $B=\{2,3,5\}$，则集合 $A-B$ 的子集个数为 ()

$A.1$

$B.2$

$C.3$

$D.4$

Details

解：

注意，不是求集合 $A-B$ 的元素个数，而是它的子集个数！

元素个数为 2，所以 $card(A-B)=2^2=4$，所以答案选 D.

例题 2

对于集合 M、N，定义 $M-N=\{x|x\in M，\mathrm{且}x\notin N\}$，$M⨁N=(M-N)\bigcup (N-M)$.

设 $A=\{y|y=x^2-3x,x\in R\}$，$B=\{y|y=-2^x,x\in R\}$，则 $A⨁B=$（）.

$A.(-\frac{9}{4},0]$

$B.[-\frac{9}{4},0)$

$C.(-\mathrm{\infty },-\frac{9}{4})\bigcup [0,+\mathrm{\infty })$

$D.(-\mathrm{\infty },-\frac{9}{4})\bigcup (0,+\mathrm{\infty })$

Details

解：

$A=[-\frac{9}{4},+\mathrm{\infty })$,

$B=(-\mathrm{\infty },0)$,

所以 $A⨁B=(-\mathrm{\infty },-\frac{9}{4})\bigcup [0,+\mathrm{\infty })$，选 C.

例题 3（分类问题）

第一次做错了

因为没有对 $A_2$ 进行分类。

若集合 $A_1,A_2$ 满足 $A_1\bigcup A_2=A$，则称 $(A_1,A_2)$ 为集合 $A$ 的一个分拆，并规定：当且仅当 $A_1=A_2$ 时，$(A_1,A_2)\mathrm{与}(A_2,A_1)$ 为集合 A 的同一种分拆，则集合 $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ 的不同分拆种数是（）.

Details

解：

分类有一定套路。就是按照从小到大、从特殊到广泛、从少到多的顺序，进行分类。

假设集合 $A$ 分拆为集合 $A_1\mathrm{和}{A}_2$，

1. $card(A_1)=0$，也就是 $A_1$ 是空集 $\mathrm{\varnothing }$ 时

$A_2$ 只能是 $\{a_1,a_2,a_3\}$，有 1 种拆法。

2. $card(A_1)=1$，也就是 $A_1$ 的元素有一个时

此时 $A_2$ 的元素个数至少为 2（注意，不是必须为 2）。

若 $A_1=\{a_1\}$，则 $A_2=\{a_2,a_3\}\mathrm{或}\{a_1,a_2,a_3\}$。

...

有 $3\times 2=6$ 种拆法。

3. $card(A_1)=2$，也就是 $A_1$ 的元素有两个时

此时 $A_2$ 的元素个数至少为 1（注意，不是必须为 1）。

若 $A_1=\{a_1,a_2\}$，则 $A_2=\{a_3\}\mathrm{或}\{a_1,a_3\}\mathrm{或}\{a_2,a_3\}\mathrm{或}\{a_1,a_2,a_3\}$。

...

有 $3\times 4=12$ 种拆法。

4. $card(A_1)=3$，也就是 $A_1$ 的元素有三个时

此时 $A_2$ 的元素个数可以为 0。

$A_1=\{a_1,a_2,a_3\}$，而 $A_2$ 应该是 $A_1$ 的子集，所以 $A_2$ 有 $2^3=8$ 种情况。

综上，共有 $1+6+12+8=27$ 种拆法。

集合综合拓展训练

例题 1

考的是交并关系，未知数

设集合 $A=\{x|-1\le x\le 2\},B=\{x|m-1<x<2m+1\}$.

（1）若 $B\subset A$，求实数 $m$ 的取值范围；

（2）设实数集为 $R$，若 $R\bigcap C_{R}A$ 中只有一个整数 $-2$，求实数 $m$ 的取值范围。

Details

解：

（1）

因为空集时任何集合的子集，所以需要分类求取值范围。

1. 若 $B=\mathrm{\varnothing }$，说明 $m-1\ge 2m+1$，即 $m\le -2$.

此时 $B\subset A$，符合条件。

2. 若 $B\ne \mathrm{\varnothing }$，说明 $m>-2$

那么需要满足条件 $\{\begin{array}{l}m-1\ge -1\\ 2m+1\le 2\end{array}$，解得 $0\le m\le \frac{1}{2}$。结合前提条件，$m$ 的取值范围为 $0\le m\le \frac{1}{2}$。

综上所述，$m$ 的取值范围为 $(-\mathrm{\infty },-2]\bigcup [0,\frac{1}{2}]$。

（2）

由题意可知，$B$ 不可能为空集，所以说前提条件为 $m>-2$。

$C_{R}A=(-\mathrm{\infty },-1)\bigcup (2,+\mathrm{\infty })$。

因为 $R\bigcap C_{R}A$ 中只有一个整数 $-2$，所以可以得出

$\{\begin{array}{l}-3\le m-1<-2\\ -2<2m+1\le 3\end{array}$，解得

$\{\begin{array}{l}-2\le m<-1\\ -\frac{3}{2}<m\le 1\end{array}$ ，结合前提条件，可得 $m$ 的取值范围为 $(-\frac{3}{2}<m<-1)$ 。

例题 2

新定义问题，考逻辑分析。

已知集合 $M$ 是非空数集，且满足三个条件：

1. $\mathrm{\forall }x\in M,\mathrm{\forall }y\in M,\mathrm{恒}\mathrm{有}x-y\in M;$
2. $\mathrm{\forall }x\in M(x\ne 0),\mathrm{恒}\mathrm{有}\frac{1}{x}\in M;$
3. $1\in M.$

（1）求证：$\mathrm{\forall }x\in M,\mathrm{\forall }y\in M,\mathrm{恒}\mathrm{有}x+y\in M.$

（2）求证：$\mathrm{当}x\ne 0\mathrm{且}x\ne -1\mathrm{时}，\mathrm{若}x\in M,\mathrm{则}\mathrm{必}\mathrm{有}\frac{1}{x(x+1)}\in M.$

Details

解：

（1）

因为 $\mathrm{\forall }x\in M,\mathrm{\forall }y\in M,\mathrm{恒}\mathrm{有}x-y\in M,\mathrm{且}1\in M.$

所以当 $x=1\mathrm{时}，1-y\in M$，当 $y=1\mathrm{时}，x-1\in M$。

可以得出 $x+y-2\in M$。

当 $x=y$，得出 $0\in M$。又因为 $1\in M$，所以 $0-1=-1\in M$。所以 $-1-1=-2\in M$。

由此可得 $(x+y-2)-(-2)=x+y\in M$。

题目得证。

（2）

由（1）我们得出 $-1\in M$，所以 $x-(-1)=x+1\in M$。

因为 $\mathrm{\forall }x\in M(x\ne 0),\mathrm{恒}\mathrm{有}\frac{1}{x}\in M$，所以 $\frac{1}{x+1}\in M$。

所以 $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}\in M$。

题目得证。

更多题

题目 1

如图所示，$I$ 是全集，$A,B,C$ 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）。

$A.(A\bigcap B)\bigcap C$

$B.(A\bigcap C_{I}B)\bigcap C$

$C.(A\bigcap B)\bigcap C_{I}C$

$D.C_I(A\bigcap B)\bigcap C$

Details

对 $A,B,C,D$ 选项一个一个查看，符合条件的即是正确答案。答案是 $B$。

题目 2

设全集 $I=\{(x,y)|x,y\in R\}$，集合 $M=\{(x,y)|\frac{y-3}{x-2}=1\},N=\{(x,y)|y\ne x+1\}$，那么 $C_{I}M\bigcap C_{I}N$ 等于（）。

$A.\mathrm{\varnothing }$

$B.\{(2,3)\}$

$C.(2,3)$

$D.\{(x,y)|y=x+1\}$

Details

解：

由题意得：

$M=\{(x,y)|x\ne 2,y\in R\}$.

$C_{I}M=\{(x,y)|x=2,y\in R\}$.

$C_{I}N=\{(x,y)|y=x+1\}$.

所以 $C_{I}M\bigcap C_{I}N=\{(2,3)\}$，答案选 $B$.

题目 3

设全集 $I=\{a,b,c,d,e,f\}$，子集 $A=\{a,c\}$，则满足 $B\subset I$，且 $A\bigcap B\ne \mathrm{\varnothing }$ 的子集 $B$ 共有______个。

Details

解：

分类一定要精确、清晰，不能模糊模棱两可

若 $A\bigcap B\ne \mathrm{\varnothing }$，那么 $B$ 集合的元素有三种情况：

1. 一定包含 a，但是不含 c
2. 一定包含 c，但是不含 a
3. 包含 a 和 c

因为要满足 $B\subset I$，所以现在进行分类讨论。

1. 当集合 $B$ 一定包含 a，但是不含 c 时，有四个元素（$b,d,e,f$）可有可无，此时 $B$ 有 $2^4=16$ 种可能。
2. 当集合 $B$ 一定包含 c，但是不含 a 时，也是有四个元素（$b,d,e,f$）可有可无，此时 $B$ 有 $2^4=16$ 种可能。
3. 当集合 $B$ 包含 a 和 c 时，也是有四个元素（$b,d,e,f$）可有可无，此时 $B$ 有 $2^4=16$ 种可能。

综上，一共有 48 种可能。答案为 $48$。

题目 4

已知集合 $P=\{n|n=2k-1,k\in N_{+},k\le 50\},Q=\{2,3,5\}$，则集合 $T=\{xy|x\in P,y\in Q\}$ 中元素的个数为（）。

$A.147$

$B.140$

$C.130$

$D.117$

Details

解：

由题意得，

$T=\{\begin{array}{l}\{2x|x\in P\}\\ \{3x|x\in P\}\\ \{5x|x\in P\}\end{array}$

$P=\{n|n=2k-1,k\in N_{+},k\le 50\}=\{1,3,5,7,...,99\}$，可以发现 $P$ 中的元素全部为奇数。

第一种情况，元素有 50 个。

第二种情况，元素有 50 个。

第三种情况，元素有 50 个。

但是需要注意需要去重。

因为 $\mathrm{奇}\mathrm{数}\times \mathrm{偶}\mathrm{数}=\mathrm{偶}\mathrm{数}，\mathrm{奇}\mathrm{数}\times \mathrm{奇}\mathrm{数}=\mathrm{奇}\mathrm{数}$，所以第一种情况的元素都是唯一的。

第二种情况和第三种情况的元素有哪些是重复的呢？是 3 和 5 的公倍数且这个公倍数为奇数。并且这个公倍数小于 $3\times 99=297$， 这样的公倍数一共有 10 个。

所以最终答案为 $50+50+50-10=140$。

题目 5

已知集合 $A=\{x|x^2-3x+2\ge 0\}$.

（1）若集合 $B=\{x|x\le t\},\mathrm{且}A\bigcup B=R$，求实数 $t$ 的取值范围；

（2）若集合 $B=\{x|x^2-ax+b\le 0\},\mathrm{且}A\bigcap B=\{x|2\le x\le 3\}$，求实数 $a$ 的取值范围。

Details

解：

（1）

$A=\{x|(x-1)(x-2)\ge 0\}$。

因为 $A\bigcup B=R$，画图可得 $t\ge 2$。

（2）

由题意得，方程 $x^2-ax+b\le 0$ 必有两个根，且有一个根为 3。

所以前提条件为 $\mathrm{\Delta }=a^2-4b>0$。

有等式 $9-3a+b=0⟹b=3a-9$，所以前提条件要满足 $a^2-4(3a-9)=a^2-12a+36=(a-6{)}^2>0$，即 $a\ne 6$。

根据韦达定理得 $x_1+3=a⟹x_1=a-3$。

$x_1$ 需要满足条件 $1<a-3\le 2$，即 $4<a\le 5$。

综上所述，a 的取值范围为 $(4,5]$。

题目 6

已知集合 $S_n=\{X|X=(x_1,x_2,...,x_n),x_i\in \{0,1\},i=1,2,...,n\}(n\ge 2)$ 。对于 $A=(a_1,a_2,...a_n),B=(b_1,b_2,...b_n)\in S_n$，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A-B=(|a_1-b_1|，|a_2-b_2|，...,|a_n-b_n|)$；$A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A,B)=\sum _{i=1}^n|a_i-b_i|$。

（I）当 $n=5$ 时，设 $A=(0,1,0,0,1),B=(1,1,1,0,0)$，求 $d(A,B)$；

（II）证明：$\mathrm{\forall }A,B,C\in S_n,\mathrm{有}A-B\in S_n,\mathrm{且}d(A-C,B-C)=d(A,B)$；

Details

解：

（1）

$d(A,B)=\sum _{i=1}^5|a_i-b_i|=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0+0|+|1-0|=1+0+1+0+1=3$.

（2）

因为 $A-B=(|a_1-b_1|，|a_2-b_2|，...,|a_n-b_n|)$，且 $|a_1-b_1|\in \{0,1\},|a_2-b_2|\in \{0,1\},...,|a_n-b_n|\in \{0,1\}$，所以 $\mathrm{\forall }A,B,C\in S_n,\mathrm{有}A-B\in S_n$。

$d(A-C,B-C)=\sum _{i=1}^n||a_i-c_i|-|b_i-c_i||$，

因为 $a_i,b_i\in \{0,1\}$，

当 $c_i=0$ 时，$\sum _{i=1}^n||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=\sum _{i=1}^n|a_i-b_i|$，

当 $c_i=1$ 时，$\sum _{i=1}^n||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=\sum _{i=1}^n|-a_i+b_i|$。

所以题目得证。