难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $f(x)=x^2-4x-6lnx$.

（1）求 $f(x)$ 在 $(2,f(2))$ 处的切线方程以及 $f(x)$ 的单调性；

（2）令 $g(x)=f(x)+4x-(a-6)lnx$，若 $g(x)$ 有两个零点分别为 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ 且 $x_0$ 为 $g(x)$ 唯一极值点，求证：$x_1+3x_2>4x_0$

解（1）

$f(x)=x^2-4x-6lnx(x>0)$

$f^{\prime }(x)=2x-4-\frac{6}{x}=\frac{2x^2-4x-6}{x}=\frac{2(x^2-2x-3)}{x}=\frac{2(x-3)(x+1)}{x}$

$f(2)=4-8-6ln2=-4-6ln2$

$f^{\prime }(2)=-3$

切线方程为 $y=-3(x-2)-4-6ln2=-3x+2-6ln2$

$0<x<3,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>3,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

解（2）

$g(x)=x^2-alnx$

$g^{\prime }(x)=2x-\frac{a}{x}=\frac{2x^2-a}{x}$

$2x_0^2-a=0$

因为 $x_0$ 为 $g(x)$ 唯一极值点

所以 $a>0$

$x_0=\sqrt{\frac{a}{2}}$

$\{\begin{array}{l}{x}_1^2=aln{x}_1\\ x_2^2=aln{x}_2\end{array}$

下式减上式，得

$x_2^2-x_1^2=aln\frac{x_2}{x_1}$

$a=\frac{x_2^2-x_1^2}{ln\frac{x_2}{x_1}}$

所以证明 $x_1+3x_2>4x_0$

即证

$x_1+3x_2>\sqrt{8a}$

$x_1+3x_2>\sqrt{8\frac{x_2^2-x_1^2}{ln\frac{x_2}{x_1}}}$

$x_1^2+6x_1{x}_2+9x_2^2>\frac{8(x_2^2-x_1^2)}{ln\frac{x_2}{x_1}}$

$(x_1^2+6x_1{x}_2+9x_2^2)ln\frac{x_2}{x_1}>8(x_2^2-x_1^2)$

两边同除 $x_1^2$

$(1+6\frac{x_2}{x_1}+9(\frac{x_2^2}{x_1^2}{)}^2)ln\frac{x_2}{x_1}>8(\frac{x_2^2}{x_1^2}-1)$

令 $\frac{x_2}{x_1}=t,t>1$

即证 $(9t^2+6t+1)lnt>8(t^2-1),t>1$

令 $m(t)=(9t^2+6t+1)lnt>8(t^2-1),t>1$

$m^{\prime }(t)=(18t+6)lnt+(9t+6+\frac{1}{t})-16t$

$=(18t+6)lnt-7t+\frac{1}{t}+6$

$m^{\prime \prime }(t)=18lnt+18+\frac{6}{t}-7-\frac{1}{t^2}$

$=18lnt+11+\frac{6}{t}-\frac{1}{t^2}>0$

所以 $m^{\prime }(t)\uparrow ,m^{\prime }(t)>m^{\prime }(1)=0$

$m(t)\uparrow ,m(t)>m(1)=0$

所以 $x_1+3x_2>4x_0$

证毕。

TIP

遇到证明 2 个零点大于某个极值点的题目时，

转化为极值点偏移这类问题，

运用比值换元、放缩等方法求解。

TIP

有时候“对数单身狗”法则并不会使题目变得更简单，反而更复杂。

进行多次求导反而更简单。

TIP

对一个函数进行求导时，要注意这个函数在定义域内是否存在无定义的情况，如果存在需要变换形式。

比如 $x^{=}alnx(x>0)$ 有 2 个解，要求 $a$ 的取值范围。

如果分离参数为 $g(x)=a=\frac{x^2}{lnx}$，那么当 $x=1$ 时函数无意义，这时的 $g(x)$ 图像为

所以需要变换形式：

$h(x)=\frac{1}{a}=\frac{lnx}{x^2}$，此时 $h(x)$ 的图像为