难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题拐点偏移

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=x{e}^{2-x}$

（1）求 $f(x)$ 的极值

（2）若 $a>1,b>1,a\ne b,f(a)+f(b)=4$，证明：$a+b<4$

TIP

1. 拐点偏移问题的特征：$f(a)+f(b)=\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{字}$。

2. 拐点也称凹凸分界点。

3. 拐点也是二阶导零点。

4. 拐点题，一般一阶导往往是看不出正负的，需要求二阶导。所以求出一阶导后不要代入 x，继续对抽象函数求导。

第一问

$f^{\prime }(x)=e^{2-x}-x{e}^{2-x}$

$=e^{2-x}(1-x)$

$\therefore (-\mathrm{\infty },1),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$(1,+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

第二问

由题意得，$1<a<2<b$

证 $a+b<4$

即证 $b<4-a$

$4-f(a)=f(b)>f(4-a)$

即证 $f(a)+f(4-a)<4$

令 $h(x)=f(x)+f(4-x),1<x<2$

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(4-x)$

$h^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime }(4-x)$

$=-e^{2-x}(2-x)+[-e^{2-(4-x)}(2-4+x)]$

$=e^{2-x}(x-2)-e^{x-2}(x-2)$

$=(x-2)(e^{2-x}-e^{x-2})$

$x-2<0,e^{2-x}-e^{x-2}>0$

$\therefore h^{\prime \prime }(x)<0,h^{\prime }(x)\downarrow ,h^{\prime }(2)=0$

$\therefore h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow ,h(2)=f(2)+f(2)=4$

$\therefore h(x)<4$