难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题比值换元端点效应端点失效

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=a{e}^x-x^2$ 有两个极值点 $x_1,x_2(x_1<x_2)$.

（1）求 $a$ 的取值范围；

（2）若 $e{x}_1+(e-2)x_2⩾\lambda x_1{x}_2$，求 $\lambda$ 的取值范围。

解 第（1）问

$f(x)=a{e}^x-x^2$

$f^{\prime }(x)=a{e}^x-2x$

$f^{\text{pirme}}(x)=0$ 有两个解

$a{e}^x-2x=0$ 有 2 个解

在这里，不分参数也可以做，分类讨论一下即可。

$⟺$ $a=\frac{2x}{e^x}$ 有 2 个解

令 $h(x)=\frac{2x}{e^x}$

$h^{\prime }(x)=\frac{2e^x-2x{e}^x}{e^{2x}}=\frac{2-2x}{e^x}$

$x<1,h^{\prime }(x)<0,h(x)\downarrow$

$x>1,h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$x\to -\mathrm{\infty },h(x)=-\mathrm{\infty }$

$h(0)=0$

$x\to +\mathrm{\infty },h(x)\to 0$

$h(1)=\frac{2}{e}$

所以 $0<a<\frac{2}{e}$

解 第（2）问

恒有 $e{x}_1+(e-2)x_2⩾\lambda x_1{x}_2$

$\{\begin{array}{l}a{e}^{x_1}=2x_1\\ a{e}^{x_2}=2x_2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{e}^{x_1}=\frac{2x_1}{a}\\ e^{x_2}=\frac{2x_2}{a}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}_1=ln\frac{2x_1}{a}=ln{x}_1+ln\frac{2}{a}\mathrm{①}\\ x_2=ln\frac{2x_2}{a}=ln{x}_2+ln\frac{2}{a}\mathrm{②}\end{array}$

$\mathrm{②}-\mathrm{①}$，得

$x_2-x_1=ln\frac{x_2}{x_1}$

$0<x_1<1,1<x_2$

恒有 $\frac{e}{x_2}+\frac{e-2}{x_1}⩾\lambda$

令 $\frac{x_2}{x_1}=t,t>1$

$x_2=t{x}_1$

$t{x}_1-x_1=lnt$

$x_1=\frac{lnt}{t-1},x_2=\frac{tlnt}{t-1}$

所以恒有 $e\frac{t-1}{tlnt}+(e-2)\frac{t-1}{lnt}⩾\lambda ,t>1$

$e(1-\frac{1}{t})\frac{1}{lnt}+(e-2)(t-1)\frac{1}{lnt}⩾\lambda$

$e-\frac{e}{t}+et-e-2t+2⩾\lambda lnt$

$(e-2)t-\frac{e}{t}+2⩾\lambda lnt$

$(e-2)t-\frac{e}{t}+2-\lambda lnt⩾0,t⩾1$

令 $g(t)=(e-2)t-\frac{e}{t}+2-\lambda lnt,t⩾1$

可以发现 $g(1)=0$

所以 $g^{\prime }(1)⩾0$

$g^{\prime }(t)=(e-2)+\frac{e}{t^2}-\frac{\lambda }{t}$

在这里，如果定义域是 $t\in (0,+\mathrm{\infty })$，能否通过讨论 $g^{\prime }(t)$ 通分后的分子正负（是个二次函数）

$g^{\prime }(t)=(e-2)+\frac{e}{t^2}-\frac{\lambda }{t}=\frac{(e-2)t^2-\lambda t+e}{t^2}$

来推出 $\lambda$ 的范围？

$\{\begin{array}{l}g(t)=(e-2)t-\frac{e}{t}+2-\lambda lnt=0\\ g^{\prime }(t)=(e-2)+\frac{e}{t^2}-\frac{\lambda }{t}=0\end{array}$

$\lambda =(e-2)t+\frac{e}{t}$

$(e-2)t-\frac{e}{t}+2-[(e-2)t+\frac{e}{t}]lnt=0$

解得 $t=1$ 或 $t=e$

所以 $g(e)=(e-2)e-1+2-\lambda ⩾0$

$\lambda ⩽e^2-2e+1$

$\lambda ⩽(e-1{)}^2$

$g(1)=0$

$g^{\prime }(1)⩾0$

$(e-2)+e-\lambda ⩾0$

$\lambda ⩽2e-2$

取交集，所以

$\lambda ⩽(e-1{)}^2$

下证，当 $\lambda ⩽(e-1{)}^2$ 时，$g(t)⩾0$

$g(t)⩾(e-2)t-\frac{e}{t}+2-(e-1{)}^{2}lnt$

令 $\phi (t)=(e-2)t-\frac{e}{t}+2-(e-1{)}^{2}lnt$

${\phi }^{\prime }(t)=(e-2)+\frac{e}{t^2}-(e-1{)}^2\frac{1}{t}$

$=\frac{(e-2)t^2-(e-1{)}^{2}t+e}{t^2}$

$=\frac{[(e-2)t-1](t-e)}{t^2},t>1$

所以 $1<t<\frac{1}{e-2},{\phi }^{\prime }(t)>0,\phi (t)\uparrow$

所以 $\frac{1}{e-2}<t<e,{\phi }^{\prime }(t)<0,\phi (t)\downarrow$

$t>e,{\phi }^{\prime }(t)>0,\phi (t)\uparrow$

$\phi (1)=0$

$\phi (t)>\phi (e)=(e-2)e-1+2-(e-1{)}^2$

$=e^2-2e+1-(e-1{)}^2$

$=0$

所以 $\lambda ⩽(e-1{)}^2$

TIP

对于端点效应的必要性探路，探的就是极值点。

如果 $\mathrm{极}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{点}⩾0$，那么 $f(x)⩾0$。

如果判断得出题目有端点效应，如何确定函数 $f(x)$ 有几个极值点呢？

可以假设极小值点为 $x_0$，那么联立方程有

$\{\begin{array}{l}\phi (x_0)=0\\ {\phi }^{\prime }(x_0)=0\end{array}$