02_函数综合题

零点存在性定理

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)\cdot f(b)\le 0$，则 $[a,b]$ 必存在零点。

延伸：

且 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调。若 $f(a)f(b)<0$，则 $(a,b)$ 必存在一个唯一零点。

例题

例题 1

$f(x)=3ax-2a+1$ 在 $[-1,1]$ 上有零点，则 $a$ 的范围属于多少。

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解：

根据零点定理，只需要满足 $f(-1)f(1)\le 0$ 即可。

$f(-1)f(1)=(-5a+1)(a+1)\le 0$

$(5a-1)(a+1)\ge 0$

$a\ge \frac{1}{5}\mathrm{或}a\le -1$

例题 2

已知三个函数 $f(x)=2^x+x,g(x)=x-2,h(x)={\log }_{2}x+x$的零点依次为 $a,b,c$，则（）。

$A.a<b<c$

$B.a<c<b$

$C.b<a<c$

$D.c<a<b$

Details

解：

$f(0)=2^0+0=1>0$

$f(-1)=2^{-1}+(-1)=-\frac{1}{2}<0$

$\therefore -1<a<0$

$b=2$

$h(1)={\log }_{2}1+1=1>0$

$h(\frac{1}{2})={\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$

$\therefore \frac{1}{2}<c<1$

例题 3

若函数 $f(x)=x^2+{\log }_2|x|-4$ 的零点$m\in (a,a+1),a\in Z$，则所有满足条件的 $a$ 的和为（）。

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解：

这是一个偶函数：$f(-x)=f(x)$

第一种情况，$x>0$ 时，$f(x)=x^2+{\log }_{2}x-4$

$f(1)=1+{\log }_{2}1-4=-3<0$

$f(2)=2^2+{\log }_{2}2-4=1>0$

所以 $1<x_1<2$

$\therefore a_1=1$

第二种情况，$x<0$ 时。

$a_2=-2$

$\therefore a_1+a_2=1+(-2)=-1$

分段函数解题思路

分段函数分段看。

有时候零点问题可能要转换为交点问题，交点问题又可能转换为零点问题。

$\mathrm{零}\mathrm{点}⟺\mathrm{交}\mathrm{点}$

例题

例题 1

若函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}-x^2+(2-a)x,x\le 0\\ (2a-1)x+a-1,x>0\end{array}$ 在 $R$ 上为增函数，则 $a$ 的取值范围为（）

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解：

有题意得，

$\{\begin{array}{l}{1}^{\circ },x\le 0,\frac{-2-a}{2\times (-1)\ge 0}\\ 2^{\circ },x>0,2a-1>0\\ 3^{\circ },a-1\ge 0\end{array}$

最终得出 $a\in [1,2]$。

例题 2

函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}-2x-3,x<0\\ x^2,x\ge 0\end{array}$,

若 $a>0>b，\mathrm{且}f(a)=f(b)$，则 $f(a+b)$ 的取值范围是（）。

Details

解：

$\because a>0$

$\therefore f(a)=a^2$

$\because b<0$

$\therefore f(b)=-2b-3$

$\because a^2=-2b-3$

$\therefore b=\frac{-a^2-3}{2}$

$f(a+b)=f(\frac{-a^2+2a-3}{2})=-2\cdot \frac{-a^2+2a-3}{2}$

$\because -a^2+2a-3=-(a-1{)}^2-2<0$

$\therefore f(\frac{-a^2+2a-3}{2})=-2\cdot \frac{-a^2+2a-3}{2}-3$

$=a^2-2a=(a-1{)}^2-1\in [-1,+\mathrm{\infty })$

例题 3

定义在 $R$ 上的奇函数 $f(x)$，当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x+1(0\le x<1)\\ |x-3|-1(x\ge 1)\end{array}$， 则函数 $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}$ 的所有零点之和为 ____。

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解：

分段函数与零点问题

一般来讲零点问题需要转交点问题，交点问题需要转零点问题。不过需要看情况，看哪个好解。

例题

例题 1

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}1-|x-1|,x<2,\\ \frac{1}{2}f(x-2),x\ge 2,\end{array}$， 则方程 $xf(x)-1=0$根的个数为 ____。

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解：

例题 2

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}kx+k,x\le 0\\ \ln x,x>0\end{array}(\mathrm{其}\mathrm{中}k\ge 0)$， 若函数 $y=f[f(x)]+1$ 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 ___。

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解：

例题 3

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}2-|x|,x\le 2\\ (x-2{)}^2,x>2\end{array}$，函数 $g(x)=b-f(2-x)$,其中$b\in R$，

若函数 $y=f(x)-g(x)$ 恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是？

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解：

抽象函数

抽象函数解题切入点

例题

例题 1

已知 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数 x、y 都成立，且 $f(0)\ne 0$，求证 $f(x)$ 为偶函数。

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解：

例题 2

奇函数 $f(x)$ 在定义域 $(-1,1)$ 内递减，求满足 $f(1-m)+f(1-m^2)<0$ 的实数 $m$ 的取值范围。

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解：

例题 1

定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(x+2)+f(x)=0$，且函数 $f(x+1)$ 为奇函数，对于下列命题：

1. 函数 $f(x)$ 满足 $f(x+4)=f(x);$
2. 函数 $f(x)$ 图像关于点 $(1,0)$ 对称；
3. 函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称；
4. 函数 $f(x)$ 的最大值为 $f(2)$；
5. $f(2009)=0$

其中正确的序号为______.

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解：

1。

$f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+2+2)]=f(x+4)$

所以对。

2。

$f(x)$ 图像经过向左平移 1 个单位后，得到 $f(x+1)$。

$f(x+1)$ 为奇函数，所以 $f(x)$ 也是奇函数。

所以对。

3。

要证明 $f(x)$ 图像关于直线 $x=2$ 对称，只需证明 $f(2-x)=f(2+x)$。

$\because f(x+1)\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$\therefore f(x+2)=-f(-(x+1)+1)$

$\therefore f(x+2)=-f(-x)$

$\therefore f(x+2)=-[f(-x+2)]$

$=f(2-x)$

所以得证。

4。

这个应该不能证明。

不对。

5。

根据周期性，对。

例题 2

定义在 $R$ 上的函数 $f(x),f(0)\ne 0$，当 $x>0$ 时，$f(x)>1$，且对任意实数 $a,b$ 有 $f(a+b)=f(a)\cdot f(b)$，求证：

（1）$f(0)=1$

（2）证明：$f(x)$ 是 $R$ 上的增函数；

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解：

第一问：

第二问：