圆的两种方程表示

圆的标准方程

假设一个圆的圆心为 $(a,b)$，在圆上的任意一点为 $(x,y)$，那么又两点之间距离公式可得，

$r=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$

$\therefore (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

这个方程也被叫做圆的标准方程。

圆的一般方程

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)$

我们将其配方，可得

$(x+\frac{D}{2}{)}^2+(y+\frac{E}{2}{)}^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}$。

所以给出圆的一般方程，那么它的圆心为 $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$。

当 $D^2+E^2-4F$$\{\begin{array}{l}<0,\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{无}\mathrm{意}\mathrm{义}\\ =0,\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{点}\\ >0,\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{圆}\end{array}$

例题

例题 1

已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A(1,1),B(2,-2)$，且圆心 $C$ 在直线 $l:x-y+1=0$ 上，求圆 $C$ 的标准方程。

$k_{AB}=\frac{1-(-2)}{1-2}=-3$

$\therefore k_{l^{\prime }}=\frac{1}{3}$

$A,B$ 的中点 $M$ 为 $(\frac{1+2}{2},\frac{1-2}{2})$ 即 $M(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$。

所以根据点斜式求出 $AB$ 的垂直平分线方程为 $l^{\prime }:y=\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}x-1$

然后联立方程

$\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{3}a-1\\ a-b+1=0\end{array}$

解得 $a=-3,b=-2$。

所以圆心坐标为 $(-3,-2)$

$r=|CA|=\sqrt{4^2+3^2}=5$

$\therefore (x-(-3){)}^2+(y-(-2){)}^2=5^2$

$(x+3{)}^2+(y+2{)}^2=25$

例题 2

已知圆 $C$ 过点 $(4,6),(-2,-2),(5,5)$，点 $M,N$ 在圆 $C$ 上，则 $\mathrm{△}CMN$ 面积的最大值为（）

解：

设圆的一般式方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

$\{\begin{array}{l}16+36+4D+6E+F=0\\ 4+4-2D-2E+F=0\\ 25+25+5D+5E+F=0\end{array}$

解得 $\{\begin{array}{l}D=-2\\ E=-4\\ F=-20\end{array}$

所以圆的标准方程为 $(x-1{)}^2+(x-2{)}^2=25$

$S_{\mathrm{△}CMN}=\frac{1}{2}{r}^{2}sin\theta$

最大为 $\frac{1}{2}\cdot 25=\frac{25}{2}$

例题 3

已知线段 $AB$ 的端点 $B$ 的坐标为 $(4,3)$，端点 $A$ 在圆 $(x+1{)}^2+y^2=4$ 上运动，求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹方程，并说明 $M$ 的轨迹是什么图形。

解：

$(2x-3{)}^2+(2y-3{)}^2=4$

$(x-\frac{3}{2}{)}^2+(y-\frac{3}{2}{)}^2=1$