难度： 困难

标签： 方程根的理解未知极值点问题导数问题基本不等式证明题

是否做正确： 做错了

是否属于易错题： 易错题

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $f(x)=e^x$

(1) 若 $x\ge 0$ 时，不等式 $(x-1)f(x)\ge m{x}^2-1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2) 求证：当 $x>0$ 时，$f(x)>4lnx+8-8ln2$.

解

$e^x>4lnx+8-8ln2,x>0$ 恒成立

$e^x-4lnx-8+8ln2>0,x>0$ 恒成立

令 $f(x)=e^x-4lnx-8+8ln2$

$\therefore f(x{)}_{min}>0$

$f^{\prime }(x)=e^x-\frac{4}{x}=\frac{x{e}^x-4}{x}$

存在 $x_0$ 使得 $x_0{e}^{x_0}-4=0,1<x_0<2$

在 $(0,x_0)$ 上 $f^{\prime }(x)<0,f(x)$ 单调递减

在 $(x_0,+\mathrm{\infty })$ 上 $f^{\prime }(x)>0,f(x)$ 单调递增

$f(x{)}_{min}=f(x_0)=e^{x_0}-4ln{x}_0-8+8ln2$

$=\frac{4}{x_0}-4(ln4-x_0)-8+8ln2$

$=\frac{4}{x_0}+4x_0-8$

$⩾2\sqrt{16}-8$

$=0$

当 $x_0=1$ 时取等，而 $x_0>1$，

所以原式 $>0$