14 题型技巧课：双星系统

题型特征

1. 双星模型求某些物理量的比值
2. 双星模型计算总质量、周期、距离

双星模型

环绕模型 vs 双星模型

相等物理量

两星体的距离不变，$F_{\mathrm{向}}=\frac{G{m}_1{m}_2}{L^2}$ 不变。

同轴转动，角速度、周期 $\omega ,T$ 相等。

掉坑点：r

是引力提供做作圆周运动的向心力。

所以 $\frac{G{m}_1{m}_2}{L^2}=\frac{G{m}_1{m}_2}{(r_1+r_2{)}^2}=m_1{\omega }^2{r}_1=m_2\frac{v_2^2}{r_2}=m_1\frac{4{\pi }^2}{T_1^2}{r}_1$

a、v、r 与质量的关系

对 $m_1$ 分析：$\frac{G{m}_1{m}_2}{L^2}=m_1{\omega }^2{r}_1\mathrm{①}$

对 $m_2$ 分析：$\frac{G{m}_1{m}_2}{L^2}=m_2{\omega }^2{r}_2\mathrm{②}$

$\frac{\mathrm{①}}{\mathrm{②}}$，得

$\frac{m_2}{m_1}=\frac{r_1}{r_2}$

根据 $v=\omega r,a={\omega }^{2}r$

可得双星的质量之比与双星的半径、线速度、加速度之比成反比。而双星的周期、向心力、角速度相等。

$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{a_1}{a_2}$$$$T_1=T_2$$$$F_1=F_2$$$${\omega }_1={\omega }_2$$

M、L、T 计算（麻辣烫公式）

两式相加，得

$$\frac{G(m_1+m_2)}{L^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}(r_1+r_2)$$$$\frac{GM}{L^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}L$$

$M$ 为双星的总质量，$L$ 为双星的距离之和。$T$ 为卫星运行一圈的周期。

TIP

可以发现求双星的总质量、距离、周期公式和环绕模型公式很像：

$\frac{GM}{r^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

也就是环绕模型中的中心天体质量变为双星的总质量

环绕模型中的卫星轨道半径变为双星的距离

环绕模型中的卫星周期变为双星共同的周期

例题

题 1

解

A 向心力相等，错。

B 角速度相等，对。

C 半径为质量的反比，对。

D 线速度为质量的反比，对。

$BCD$

题 2

解

$C$

题 3

解

$r_1:r_2=2:3$

$L=r_1+r_2$

$r_1=\frac{2}{5}L$

$r_2=\frac{3}{5}L$

$BC$

题 4

解

$\frac{G(3M+2M)}{r^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{r}^3}{5GM}}$

$D$

题 5

解

$M_{\mathrm{大}}=M$

$M_{\mathrm{小}}=\frac{M}{3}$

$M_{\mathrm{总}}=\frac{4}{3}M$

A，半径之比为质量的反比，错。

B 错。

$\frac{G\frac{4}{3}M}{L^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}L$

$\frac{4}{3}GM{T}^2=4{\pi }^2{L}^3$

$L=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{3{\pi }^2}}$

C 对。

$C$

题 6

解

相当于已知双星的 $L,T,\omega$

根据 $\frac{GM}{L^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}L$

可以算出质量之和，B 对。

$v_1={\omega }_1{r}_1$

$v_2={\omega }_2{r}_2$

$v_1+v_2=\omega L$

C 对。

D 各自的自转角速度求不出来。

$BC$