10 考点-An,Sn 混搭型数列求解思路 (中档)

说说

有一类题中给了 $a_n$ 和 $S_n$，我们称这类题为混搭型题。

它的解题思路应该是什么样的呢？

围绕着个公式 $a_n=S_n-S_{n-1},n\ge 2$ 进行解题。

注意

用了 $a_n=S_n-S_{n-1},n\ge 2$ 这个公式一定要注意条件 $n\ge 2$，出题人往往在这里设置陷阱。

如果题目要我们求 $a_n$，那我们的思路就是将所有的 $S_n$ 换为 $a_n$。

例如题目说 $S_n=a_n+3(\mathrm{式}\mathrm{子}1)$，那么我们可以构造

$S_{n-1}=a_{n-1}+3(\mathrm{式}\mathrm{子}2)$

我们用式子 1 减式子 2，得到

$a_n=a_n-a_{n-1}$

所以可得 $a_{n-1}=0,n\ge 2$

如果我们要求 $S_n$，那么我们就将 $a_n$ 换为 $S_n-S_{n-1}$。

例题 1

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 的项和为 $S_n$，且满足 $a_n+S_n=n+3$，则 $a_n=$（）。

$A.1+2^n$

$B.1+{\frac{1}{2}}^{n-1}$

$C.1+2^{n-1}$

$D.2-{\frac{1}{2}}^{n-1}$

解：

$a_n+S_n=n+3$

$a_{n-1}+S_{n-1}=n+2,n\ge 2$

$a_n-a_{n-1}+a_n=1,n\ge 2$

$2a_n=a_{n-1}+1,n\ge 2$

$a_n=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+\frac{1}{2},n\ge 2$

$a_n-1=\frac{1}{2}(a_{n-1}-1)$

设 $b_n=a_n-1$

因为 $a_1+a_1=1+3=4,a_1=2$

所以 $b_1=a_1-1=1$

$b_n=\frac{1}{2}{b}_n$

$b_n=b_1{q}^{n-1}=(\frac{1}{2}{)}^{n-1}$

$a_n=b_n+1=1+(\frac{1}{2}{)}^{n-1}$

选 $B.$

例题 2

已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$S_{n+1}\cdot S_n=a_{n+1}$，又 $a_1=\frac{2}{9}$，

(1) 求证：数列 $\{\frac{1}{S_n}\}$ 为等差数列；

(2) 求 $a_n$

解：

（1）

$a_n=S_n-S_{n-1}$

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$

$S_{n+1}{S}_n=S_{n+1}-S_n$

$1=\frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n+1}}$

$\frac{1}{S_{n+1}}-\frac{1}{S_n}=-1$

$\frac{1}{S_1}=\frac{1}{a_1}=\frac{9}{2}$

所以 $\{\frac{1}{S_n}\}$ 是以 $\frac{9}{2}$ 为首项，$-1$ 为公差的等差数列。

（2）

$\frac{1}{S_n}=\frac{9}{2}+1-n$

$=\frac{11-2n}{2}$

$S_n=\frac{2}{11-2n}$

$S_{n-1}=\frac{2}{13-2n},n\ge 2$

$a_n=2(\frac{1}{11-2n}-\frac{1}{13-2n}),n\ge 2$

因为 $2(\frac{1}{11-2}-\frac{1}{13-2})=2(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})=2\times \frac{11-9}{99}=\frac{4}{99}\ne \frac{2}{9}$

所以 $a_n=\{\begin{array}{l}\frac{2}{9},n=1\\ 2(\frac{1}{11-2n}-\frac{1}{13-2n}),n\ge 2\end{array}$

注意

当我们用了 $S_{n-1}=\frac{2}{13-2n},n\ge 2$ 这个公式式，已经让 $n\ge 2$ 了。

后面 $n-1$ 消去不见只有 $n$ 时，$n$ 还是大于等于 $2$。

此时求出的式子就要验证它的第一项是否等于 $a_1$。

如果等于，就使用我们求出的通项公式。如果不等于，就写成分段函数。