21 题型技巧课：角形导轨

题型特征

单棒切割。导轨是角形/V 形。

学习重点

这个题型本身不重要，属于边角料的地位。

知道角形导轨中 $E$、$I$、$F_{\mathrm{安}}$ 随时间的变化规律即可。

单位长度电阻

单位长度电阻（1m 长的电阻）：$r=\rho \frac{1}{S}=\frac{\rho }{S}$

上图棒的总电阻 $R=rL$

电流和速度的关系

导轨无电阻

假设磁感应强度为 B，

导体棒的单位长度电阻为 $r$

设 t 时刻速度为 v，

瞬时电动势：

$E=BLv$

总电阻：

$R=Lr$

回路电流：

$I=\frac{E}{R}=\frac{BLv}{Lr}=\frac{B}{r}\times v$

结论：电流和速度成正比！

导轨有电阻

假设磁感应强度为 B，

导轨和导体棒的单位长度电阻都是 $r$，

闭合回路周长 $d=kL$（$k$ 为一个常数）

设 t 时刻速度为 v，

瞬时电动势：

$E=BLv$

总电阻：

$R=dr=kLr$

回路电流：

$I=\frac{E}{R}=\frac{BLv}{kLr}=\frac{B}{kr}\times v$

结论：电流和速度仍然成正比！

匀速时 E、I、F_安 与 t 的关系

磁感应强度为 B，

$𝑳$ 与 $𝒕$ 成正比，

$E=BLv$，$E$ 与 $L，t$ 成正比；

$I$ 与 $v$ 成正比，为常数；

$F_{\mathrm{安}}=IBL$，$F_{\mathrm{安}}$ 与 $L,t$ 成正比；

与导轨有没有电阻无关。

例题

题 1

解

$BC$

题 2

数学小常识

当复合函数为几个函数的乘积时，复合函数的幂次是这些函数的幂次和。

举个栗子：

若 $y=y_1{y}_2{y}_3$

$y_1=2x$

$y_2=5x^2$

$y_3=3x^4$

则 y 是关于 x 的 7 次函数

解

$\mathrm{\Phi }=BS=BLx$，$L,x$ 都与 t 成正比，所以是一个二次函数。

A 错。

$BC$

题 3

解

A

$I=kv$

$v=at$

$I=kat$

A 对。

B

$P=F_{\mathrm{安}}v=IBLv$

I 1 次，L 2 次，v 一次，

B 错。

C

$F-F_{\mathrm{安}}=ma$

$F=F_{\mathrm{安}}+ma=IBL+ma$

I 1 次，L 2 次，

C 是 3 次寒素，错。

D

$q=It$

$I$ 1 次，t 一次

D 对。

$AD$

题 4

解

（1）

均为 vt

（2）

$I=\frac{E}{R}$

$E=BLv=B{v}^{2}t$

$R=(2vt+\sqrt{2}vt)t$

$=(2+\sqrt{2})vtr$

$I=\frac{B{v}^{2}E}{(2+\sqrt{2})v+r}$

$=\frac{Bv}{(2+\sqrt{2})r}$

（3）

$F=F_{\mathrm{安}}$

$P=Fv$

$F_{\mathrm{安}}=IBL$

$P=\frac{B^{2}v}{(2+\sqrt{2})r}vt\cdot v$

$=\frac{B^2{v}^{3}t}{(2+\sqrt{2})r}$