11 考点 - 分组分配问题 (中档)

涉及到分堆问题。

假设有 a，b，c，d，e，f 六个苹果。分给甲两个，分给乙两个。有 $C_6^2{C}_4^2$ 种分法。这里面包含两种情况：1，甲 $ab$，乙 $bc$;2，甲 $bc$，乙 $ab$。因为是分给不同的人，所以不存在重复的情况。

但如果我们要将这 6 个苹果分成 4 堆，最多的堆有 2 个，最少的堆有 1 个，那么这么算就会有重复的情况。

需要去重：$\frac{C_6^2{C}_4^2}{A_2^2}$

说说

有一类分堆问题，会涉及到重复问题。

例如这道题的答案是多少呢？

把 $abcd$ 分成平均两组，有多少种分法？

如果使用列举法，那么就是 3 种。

ab   cd
ac   bd
ad   bc

而如果我们使用排列组合的方法，会发现是 $C_4^2\cdot C_2^2=\frac{4\times 3}{2}=6$ 种。因为这里面有重复的分法。

比如 $ab-cd$ 和 $cd-ab$ 是相同的分法。

如果用排列组合的话，那么正确的答案是 $\frac{C_4^2\cdot C_2^2}{A_2^2}=3$。要除掉重复的分法。

$A_2^2$ 可以看成是分成两堆进行了排序。

只有涉及到分堆的每堆的数量是相同的时候，才要考虑分堆重复问题。

例题 1

解：

（1）

6 本不同的书分成 3 堆，分给甲乙丙三人，那么就是 $C_6^2{C}_4^2{C}_2^2=90$。

可以理解为先给甲两本，再给乙两本，最后给丙两本。

如果这题说的是相同的 6 本书，那么只有一种分法。

（2）

分成三堆，每堆还都是相同的两本，并且不给任何不同的人。那么就涉及到了分堆分配问题。

$\frac{C_6^2{C}_4^2{C}_2^2}{A_3^3}=\frac{6\times 5\times 4\times 3}{2\times 2\times 3\times 2}=15$

例题 2

解：

（1）

$C_6^1{C}_5^2{C}_3^3$

甲从中选一本。乙从剩下的选两本。丙从剩下的选三本。

(2)

$C_6^1{C}_5^2{C}_3^3$

不用除 $A_3^3$，因为不涉及到重复问题。

(3)

$C_6^1{C}_5^2{C}_3^3{A}_3^3$

也不涉及重复问题。先分堆，再分给甲乙丙。因为不确定哪个人是 1 本还是 2 本还是 3 本，所以要乘 $A_3^3$。

例题 3

解：

（1）

$C_6^4{C}_2^1{C}_1^1$

(2)

$\frac{C_6^4{C}_2^1}{A_2^2}$ 或则 $C_6^4$

2 本不同的书分成 2 堆，只是分堆，不存在分配给不同的人。

TIP

重复了多少遍，除以 A 几几。