07 平面向量坐标表示习题课

说说

有两个点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。

若 $\mathrm{\exists }\lambda \in R$，使得 $\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)=\lambda \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0})$

那么我们说 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 是平行的。

由此可以得出 $\frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}$，因为这个式子可能需要分类讨论 $x_1$、$y_1$ 是否为零，所以我们可以用这个结论：

$x_2{y}_1=y_2{x}_1⟺x_2{y}_1-x_1{y}_2=0$

例题 1

已知向量 $\overrightarrow{a}=(3,1),2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(5,3)$，则 $|\overrightarrow{b}|=$（）。

解：

设 $\overrightarrow{b}=(x,y)$

$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(6+x,2+y)=(5,3)$

$\therefore x=-1,y=1$

$\therefore |\overrightarrow{b}|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

例题 2

已知 $\overrightarrow{a}=(1,2+sinx),\overrightarrow{b}=(2,cosx),\overrightarrow{c}=(-1,2),(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\parallel \overrightarrow{b}$，则锐角 $x$ 等于（）。

解：

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=(2,sinx)$

$\because (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\parallel \overrightarrow{b}$

$\therefore \frac{sinx}{2}=\frac{cosx}{2}$

$\therefore sinx=cosx$

$sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})=0$

$x-\frac{\pi }{4}=k\pi ,k\in Z$

$\therefore x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in Z$

例题 3

已知向量 $\overrightarrow{m}=(3,2),\overrightarrow{n}=(-1,2),\overrightarrow{p}=(4,1)$，当 $k$ 为何值时，$(\overrightarrow{m}+k\overrightarrow{p})\parallel (2\overrightarrow{n}-\overrightarrow{m})$？平行时它们是同向还是反向？

解：

例题 3

如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，点 $M$ 为 $BC$ 的中点，$A$、$B$、$C$ 三点坐标分别为 $(2,-2),(5,2),(-3,0)$ ，点 $N$ 在 $AC$ 上，且 $\overrightarrow{A}N=2\overrightarrow{N}C$，$AM$ 与 $BN$ 的交点为 $P$，求：

（1）点 $P$ 分向量 $\overrightarrow{A}M$ 所成的比 $\lambda$ 的值；（求 $\frac{MP}{AP}$ 的值）

（2）$P$ 点坐标。

解：

答案：

$\lambda =4$

$P$ 坐标为 $(\frac{6}{5},\frac{2}{5})$。