难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题比值换元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=2xlnx-x^2-mx+1.$

（1）若 $m=0$，求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）若 $m<0,0<b<a$，证明：$2ln\frac{a+b}{a-b}<\frac{4ab}{a^2-b^2}-m$

解（1）

$f(x)=2xlnx-x^2-mx+1$

$m=0$

$f(x)=2xlnx-x^2+1(x>0)$

$f^{\prime }(x)=2(lnx+1)-2x$

$=2lnx-2x+2$

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x}-2=\frac{2(1-x)}{x}$

所以 $x\in (0,1),f^{\prime \prime }>0,f^{\prime }(x)\uparrow$

$x\in (1,+\mathrm{\infty }),f^{\prime \prime }<0,f^{\prime }(x)\downarrow$

$f^{\prime }(x{)}_{max}=f^{\prime }(1)=0$

$f^{\prime }(x)<0$

$f(x)\downarrow \mathrm{在}(0,+\mathrm{\infty })$

解（2）

令 $\frac{a}{b}=t>1$

证 $2ln\frac{a+b}{a-b}<\frac{4ab}{a^2-b^2}-m$

即证 $2ln\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}-1}<\frac{4}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}-m$

$2ln(\frac{t+1}{t-1})<\frac{4}{t-\frac{1}{t}}-m$

$2ln(\frac{t+1}{t-1})<\frac{4t}{t^2-1}-m$

令 $\frac{t+1}{t-1}=n=\frac{t-1+2}{t-1}=1+\frac{2}{t-1}>1$

$t+1=n(t-1)=nt-n$

$(1-n)t=-n-1$

$t=\frac{-n-1}{1-n}=\frac{n+1}{n-1}$

即证 $2lnn<\frac{4}{\frac{n+1}{n-1}-\frac{n-1}{n+1}}$

$2lnn<\frac{4}{\frac{(n+1{)}^2-(n-1{)}^2}{(n-1)(n+1)}}-m$

$2lnn<\frac{4}{\frac{4n}{n^2-1}}-m$

$2lnn<\frac{n^2-1}{n}-m$

$2lnn<n-\frac{1}{n}-m$

$m<n-\frac{1}{n}-2lnn$

令 $h(n)=n-\frac{1}{n}-2lnn,(n>1)$

$h^{\prime }(n)=1+\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n}=(1-\frac{1}{n}{)}^2>0$

所以 $h(n)\uparrow ,h(n)>h(1)=0>m$

证毕。

TIP

当出现 $(a+b)(a-b),4ab$ 时，把 $4ab$ 换了。

$4ab=(a+b{)}^2-(a-b{)}^2$