难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

解（2）

设 $M(x_0,y_0),N(-x_0,-y_0)$，$P(x_p,y_p),Q(x_Q,y_Q)$

设过定点 $(2,0)$ 直线为 $x=my+2$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\\ x=my+2\end{array}$

$(my+2{)}^2+y^2-4=0$

$(m^2+1)y^2+4my=0$

$y_1+y_2=y_2=\frac{-4m}{m^2+1}$

$x_2=\frac{-4m^2}{m^2+1}+2$

设 $m=m_1=\frac{x_0-2}{y_0}$

$M(\frac{-2m_1^2+2}{m_1^2+1},\frac{-4m}{m_1^2+1})=M(-2+\frac{4}{m_1^2+1},\frac{-4m_1}{m_1^2+1})$

设 $m=m_2=\frac{x_0+2}{y_0}$

$N(\frac{-2m_2^2+2}{m_2^2+1},\frac{-4m_2}{m_2^2+1})=N(-2+\frac{4}{m_2^2+1},\frac{-4m_2}{m_2^2+1})$

$k_2=\frac{\frac{-4m_1}{m_1^2+1}+\frac{4m_2}{m_2^2+1}}{\frac{4}{m_1^2+1}-\frac{4}{m_2^2+1}}$

$=\frac{-4m_1(m_2^2+1)+4m_2(m_1^2+1)}{4(m_2^2+1)-4(m_1^2+1)}$

$=\frac{m_1{m}_2(m_1-m_2)+m_2-m_1}{(m_2+m_1)(m_2-m_1)}$

$=\frac{-m_1{m}_2+1}{m_2+m_1}$

$m_1{m}_2=\frac{x_0-2}{y_0}\frac{x_0+2}{y_0}=\frac{x_0^2-4}{y_0^2}=-2$

$m_1+m_2=\frac{2x_0}{y_0}$

$k_2=\frac{3}{\frac{2x_0}{y_0}}=\frac{3y_0}{2x_0}$

$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\frac{y_0}{x_0}}{\frac{3y_0}{2x_0}}=\frac{2}{3}$

TIP

根据，椭圆第三定义。$k_{AM}{k}_{AQ}$ 一定是一个定值。

TIP

一般都是通过韦达定理来算一个点的坐标。若一个点 $x_1$ 的横坐标为 0，则使用 $x_1+x_2=x_2=\frac{-b}{a}$