难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题定主元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=x^3+klnx(k\in R)$，$f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数。

（1）当 $k=6$ 时。

• （i）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
• （ii）求函数 $g(x)=f(x)-f^{\prime }(x)+\frac{9}{x}$ 的单调区间和极值；

（2）当 $k⩾-3$ 时，求证：对任意的 $x_1,x_2\in [1,+\mathrm{\infty })$，且 $x_1>x_2$，有 $\frac{f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)}{2}>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$

（1）（i）

$k=6,f(x)=x^3+6lnx,(x>0)$

$f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{6}{x}$

$f(1)=1+0=1$

$f^{\prime }(1)=3+6=9$

所以 $l:y=9(x-1)+1$

$l:y=9x-8$

（1）（ii）

$g(x)=f(x)-f^{\prime }(x)+\frac{9}{x}$

$=x^3+6lnx-3x^2-\frac{6}{x}+\frac{9}{x}$

$=x^3+6lnx-3x^2+\frac{3}{x},(x>0)$

$g^{\prime }(x)=3x^2+\frac{6}{x}-6x-\frac{3}{x^2}$

$=\frac{3x^4+6x-6x^3-3}{x^2}=\frac{3(x^4+2x-2x^3-1}{x^2)}$

令 $h(x)=x^4+2x-2x^3-1$

$h^{\prime }(x)=4x^3+2-6x^2$

$=2(2x^3-3x^2+1)$

$h^{\prime \prime }=2(6x^2-6x)=12x(x-1)$

所以 $0<x<1,h^{\prime }(x)<0,h^{\prime }(x)\downarrow$

$x>1,h^{\prime \prime }(x)>0,h^{\prime }(x)\uparrow$

所以 $h^{\prime }(x)>h^{\prime }(1)=0$

所以 $h(x)\uparrow ,h(1)=0$

所以 $0<x<1,h(x)<0,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x>1,h(x)>0,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

所以 $g(x)$ 在 $(0,1)\downarrow$，在 $(1,+\mathrm{\infty })\uparrow$

$g(x)$ 有极小值 $g(1)=1-3+3=1$，无极大值。

TIP

题目问求极值，要写出极大值、极小值。若没有无极小值或无极大值，就说无极小值或无极大值。

一问的 2 小问

可以看到一问的 2 小问求了很多次导，其实还是比较复杂的。

其实我们还可以分组提公因式，

$g^{\prime }(x)=3(x^2-\frac{1}{x^2})+6(\frac{1}{x}-x)$

$=3(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})-6(x-\frac{1}{x})$

$=3(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}-2)$

因为 $x+\frac{1}{x}-2⩾2-2=0$

所以只需讨论 $x-\frac{1}{x}$ 的正负，这样就不需要多次求到了。

（2）

$f(x)=x^3+klnx,(k\in R,k⩾-3)$

$f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{k}{x}$

$f^{\prime \prime }=6x-\frac{k}{x^2}$

证 $\frac{f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)}{2}>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$

即证 $(x_1-x_2)[f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)]>2[f(x_1)-f(x_2)]$

$(x_1-x_2)[f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)]+2[f(x_2)-f(x_1)]>0$

令 $x_2=x,x_1>x⩾1$

令 $F(x)=(x_1-x)[f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x)]+2f(x)-2f(x_1)$

$F^{\prime }(x)=-[f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x)]+(x_1-x)f^{\prime \prime }(x)+2f^{\prime \prime }(x)$

一般这种对抽象函数进行求导的题，都需要求二次导

$F^{\prime \prime }(x)=-f^{\prime \prime }(x)+[-f^{\prime \prime }(x)+(x_1-x)f^{\prime \prime \prime }(x)]+2f^{\prime \prime }(x)$

$=(x_1-x)f^{\prime \prime \prime }(x)$

$f^{\prime \prime \prime }(x)=6x+\frac{2k}{x^3}⩾0$

$\frac{2k}{x^3}⩾\frac{-6}{1}=0$

所以 $F^{\prime }(x)\uparrow ,F^{\prime }(x_1)=0$

所以 $1<x<x_1,F^{\prime }(x)<0,F(x)\downarrow$

$x>x_1,F^{\prime }(x)>0,F(x)\uparrow$

$F(x)>F(x_1)=0$

所以 ……

证毕。

定主元

当 $x_1,x_2$ 无任何关系，$x_1,x_2,k$ 是 3 个无关变量。可以考虑使用定主元法。

TIP

把 $x_1$ 或 $x_2$ 定为主元，而不是定 $k$。

因为定 $k$ 必须把函数装进去，式子将会爆炸性地变复杂。

TIP

可以把定位主元的那个变量 $x_1\mathrm{或}{x}_2$ 写为 $x$，这样不容易搞混。

TIP

有时候很多个多项式相乘比如 $(x-a)(3x+b)$，直接对其求导比将其展开成多项式后求导简单得多。

因为把括号打开，虽然没了乘法，但是项数太多，反而不好合并同类型，不如直接对乘法的式子求导。

TIP

$(\frac{1}{x^2}{)}^{\prime }=(x^{-2}{)}^{\prime }=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$

TIP

分子是负的，分母是正的，要求这个分数的最小的，只需要满足 $\frac{\mathrm{负}\mathrm{得}\mathrm{最}\mathrm{小}}{\mathrm{分}\mathrm{母}\mathrm{正}\mathrm{得}\mathrm{最}\mathrm{小}}$