难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题硬解定理角平分线

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）法一：求两条直线间的正切法

$b=1$

$\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$

$\frac{64}{25a^2}+\frac{9}{25}=1$

$\frac{64}{25a^2}=\frac{16}{25}$

$\frac{4}{a^2}=1$

$a^2=4$

$E:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

$k_{AT}=\frac{1+\frac{3}{5}}{\frac{8}{5}}=1$

因为 $tan\mathrm{\angle }NAT=tan\mathrm{\angle }TAM$

设 $k_2>k_1$

$\frac{k_2-k_{AT}}{1+k_2{k}_{AT}}=\frac{k_{AT}-k_1}{1+k_1{k}_{AT}}$

$\frac{k_2-1}{1+k_2}=\frac{1-k_1}{1+k_1}$

$1-k_1+k_2-k_1{k}_2=k_2+k_1{k}_2-1-k_1$

$2=2k_1{k}_2$

$k_1{k}_2=1$

求两条直线间的正切法

解（1）法二：点关于直线对称法

对于对称轴不是在 x、y 轴上，也可以使用此方法。

解（2）

$k_1{k}_2=1$

$\frac{y_1-1}{x_1}\frac{y_2-1}{x_2}=1$

设直线 $MN:y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$x^2+4y^2-4=0$

$x^2+4(kx+m{)}^2-4=0$

$(4k^2+1)x^2+8kmx+4m^2-4=0$

$x_1{x}_2=\frac{4m^2-4}{4k^2+1},x=\frac{y-m}{k}$

$(\frac{y-m}{k}{)}^2+4y^2-4=0$

$(y_1-1)(y_2-1)=\frac{(\frac{1-m}{k}{)}^2}{\frac{1}{k^2}+4}=\frac{(m-1{)}^2}{4k^2+1}$

所以 $\frac{(m-1{)}^2}{4m^2-4}=\frac{m-1}{4(m+1)}=1$

所以 $m-1=4m+4$

$m=-\frac{5}{3}$

$S_{\mathrm{△}AMN}=\frac{1}{2}\times (1+\frac{5}{3})|x_1-x_2|$

$=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{4\times 4\times 1\times 1^2(4k^2+1-\frac{25}{9})}}{4k^2+1}$

$=\frac{4\times 4}{3}\frac{\sqrt{4k^2-\frac{16}{9}}}{4k^2+1}$

$=\frac{32}{9}\frac{\sqrt{9k^2-4}}{4k^2+1}$

令 $\sqrt{9k^2-4}=t,t>0$

$k^2=\frac{t^2+4}{9}$

$S=\frac{32}{9}\frac{t}{\frac{4(t^2+4)+9}{9}}$

$=\frac{32t}{4t^2+25}$

$=\frac{32}{4t+\frac{25}{t}}⩽\frac{32}{2\sqrt{100}}=\frac{32}{20}=\frac{8}{5}$

当且仅当 $4t^2=25,t^2=\frac{25}{4},t=\frac{5}{2}$ 时取等。

TIP

割补法求三角形面积。