难度： 困难

标签： 切线放缩朗博同构

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

证明不等式：$e^x-lnx>2$ 成立。

解

根据最著名的两个切线放缩：

1. $e^x⩾x+1,\mathrm{当}x=0\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等}$
2. $lnx⩽x-1,\mathrm{当}x=1\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等}$

所以 $e^x-lnx>x+1-x+1=2$。不能同时取等。

大题时需要证明

1. $e^x⩾x+1,\mathrm{当}x=0\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等}$
2. $lnx⩽x-1,\mathrm{当}x=1\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等}$

这两个不等式。

朗博同构

函数 $f(x)=x{e}^x$ 称为博朗同构函数。