07 二项式的性质

性质

第一个性质

$C_n^m=C_n^{n-m}$

第二个性质

研究下 $C_n^k$ 单调性。

$C_n^k=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}$

$C_n^{k-1}=\frac{n(n-1)...(n-k+2)}{(k-1)!}$

所以

$C_n^k=\frac{n(n-1)...(n-k+2)}{(k-1)!}\cdot \frac{n-k+1}{k}=C_n^{k-1}\cdot \frac{n-k+1}{k}$

所以当 $\frac{n-k+1}{k}>1$ 时，后一项比前一项大；

当 $\frac{n-k+1}{k}<1$ 时，后一项比前一项小。

若 $\frac{n-k+1}{k}>1,n-k+1>k$，即 $k<\frac{n+1}{2}$

$\{\begin{array}{l}k<\frac{n+1}{2}\mathrm{时}，C_n^k>C_n^{k-1}\\ k>\frac{n+1}{2}\mathrm{时}，C_n^k<C_n^{k-1}\end{array}$

所以对于 $C_n^k$ 来所，它的图像是先变大，后变小。

所以有结论：

1. $n$ 为奇数时，$C_n^{\frac{n+1}{2}}=C_n^{\frac{n-1}{2}}$ 且同时为 $C_n^k$ 的最大值

2. $n$ 为偶数时，$C_n^{\frac{n}{2}}$ 最大

二项式系数之和

假设有

$(1+x{)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+...+C_n^n{x}^n$

令 $x=1$

那么

$2^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n$

所以二项式系数之和为 $2^n$

比如 $C_7^0+C_7^1+C_7^2+...+C_7^7=2^7=128$

例题 1

$(x^3-\frac{2}{x^6}{)}^6$ 的展开式中，二项式系数最大的项的系数式（）

解：

$160$

例题 2

$(2x-1{)}^6$ 展开式中各项的系数和为（）

解：

$1$