难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题三变量

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{lnx-ln2}{x+2}-a(1-\frac{2}{x})(a>0)$.

（I）若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{3}$，求实数 $a$ 的值；

（II）若函数 $f(x)$ 有且仅有三个不同的零点，分别设为 $x_1,x_2,x_3$，

• i）求实数 $a$ 的取值范围；
• ii）求证：$x_1{x}_2{x}_3=8$.

解（I）

$f(x)=\frac{lnx-lnx}{x+2}-a(1-\frac{2}{x})(a>0)$

$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}(x+2)-lnx+lnx}{(x+2{)}^2}-\frac{2a}{x^2}$

$f^{\prime }(1)=\frac{3-0+ln2}{9}-2a=\frac{1}{3}$

$2a=\frac{ln2}{9}$

$a=\frac{ln2}{18}$

解（II）i）

$f(x)=\frac{lnx-lnx2}{x+2}-a(1-\frac{2}{x})=0$ 有 3 解

已知零点个数，求参问题

$⟺lnx-ln2-a(x-\frac{4}{4})=0$ 有 3 解

令 $g(x)=lnx-ln2-a(x-\frac{4}{x})(x>0)$

所以 $g(x)=0$ 有 3 解

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a(1+\frac{4}{x^2})$

$=\frac{x}{x^2}-a\frac{x^2+4}{x^2}$

$=\frac{-a{x}^2+x-4a}{x^2}$

一、当 $\mathrm{\Delta }=1-16a^2⩽0$ 时，即 $a⩾\frac{1}{4}$ 时，

在 $(0,+\mathrm{\infty })g^{\prime }(x)⩽0,g(x)\downarrow ,g(x)$ 至多有 1 个零点，不符题意，舍去；

二、当 $\mathrm{\Delta }=1-16a^2>0$，即 $0<a<\frac{1}{4}$ 时，

$x_4{x}_5=\frac{4a}{a}=4$

$x_4+x_5=\frac{1}{a}>0$

所以 $x_4,x_5$ 都为正根。

在 $(0,+\mathrm{\infty })g^{\prime }(x)$ 有 2 零点 $x_4,x_5$

$0<x<x_4,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x_4<x<x_5,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$x>x_5,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x\to 0,g(x)\to +\mathrm{\infty }$

$x\to +\mathrm{\infty },g(x)\to -\mathrm{\infty }$

已知 $x=2$ 为 $g(x)=0$ 的一个解

又因为 $x_4{x}_5=4$

所以 $x_4<2<x_5$

所以 $g(x)$ 一定有零点 $x_1,x_2,x_3$

且 $0<x_1<x_2=2<x_3$

所以 $0<a<\frac{1}{4}$

解（II）ii）

由（2）i）小问知，

$x_1<x_2=2<x_3$

所以只需证 $x_1{x}_3=4$

$g(x)=lnx-ln2-a(x-\frac{4}{x})$

$g(\frac{4}{x})=ln\frac{4}{x}-ln2-a(\frac{4}{x}-x)$

$=ln2-lnx+a(x-\frac{4}{x})$

$=-g(x)$

因为 $g(x_1)=g(x_3)=0$

$x_1<x_2=2<x_3$

$g(x_1)=-g(x_3)$

所以 $x_1\cdot x_3=4$

所以 $x_1{x}_2{x}_3=8$

证毕