难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）

$k_{PA}=\frac{y_1+\frac{3}{2}}{x_1-1}$

$k_{PB}=\frac{y_0+\frac{3}{2}}{x_2-1}$

$\frac{y_1+\frac{3}{2}}{x_1-1}+\frac{y_0+\frac{3}{2}}{x_2-1}=0$

设 AB $y=kx+m$

$\frac{k{x}_1+m+\frac{3}{2}}{x_1-1}+\frac{k{x}_2+m+\frac{3}{2}}{x_2-1}=0$

$\frac{k(x_1-1)+m+\frac{3}{2}+k}{x_1-1}+\frac{k(x_2-1)+m+\frac{3}{2}+k}{x_2-1}=0$

$2k+(m+\frac{3}{2}+k)[\frac{x_1+x_2-2}{(x_1-1)(x_2-1)}]=0$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}$

$3x^2+4y^2-12=0$

$3x^2+4(kx+m{)}^2-12=0$

$(4k^2+3)x^2+8mkx+4m^2-12=0$

$x_1+x_2=\frac{-8mk}{4m^2+3}$

$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{4k^2+3+8mk+4m^2-12}{4k^2+3}=\frac{4k^2+8mk+4m^2-9}{4k^2+3}$

$=\frac{(2m+2k-3)(2m+2k+3)}{4k^2+3}$

所以 $2k+(m+k+\frac{3}{2})\frac{4m^2-8k^2-18}{(2m+2k-3)(2m+2k+3)}$

$=2k+\frac{-4mk-4k^2-3}{2m+2k-3}=0$

$4mk+4k^2-6k-4mk-4k^2-3=0$

$-6k=3$

$k=-\frac{1}{2}$

所以 $x_1+x_2=\frac{4m}{4k^2+3}=m$

$y_1+y_2=k{x}_1+m+k{x}_2+m=km+2m=\frac{3}{2}m$

所以 $M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})=(\frac{m}{2},\frac{3}{4}m)$

因为 $\frac{y_0}{x_0}=\frac{3}{2}$

所以 $y=\frac{3}{2}x$

点 M 的轨迹在 $y=\frac{3}{2}$ 上。

倾斜角

倾斜角范围是 $[0,{180}^{\circ })$

TIP

纵坐标/横坐标 如果为一个定值，说明在一条类似 $y=kx$ 的直线上。

求轨迹方程，还可以将点的 $(x,y)$ 都求出来，然后观察 x，y 的关系，如果 $\frac{y}{x}$ 为一个定值，说明这个点在 类似 $y=kx$ 的直线上，轨迹方程也就是 $y=kx$。