01 导数的概念与意义

引出

在物理中，有公式 $s=\frac{1}{2}a{t}^2,(s\mathrm{代}\mathrm{表}\mathrm{路}\mathrm{径}，a\mathrm{代}\mathrm{表}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}，t\mathrm{代}\mathrm{表}\mathrm{时}\mathrm{间})$

$v=at,(v\mathrm{代}\mathrm{表}\mathrm{速}\mathrm{度}，a\mathrm{代}\mathrm{表}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}，t\mathrm{代}\mathrm{表}\mathrm{时}\mathrm{间})$

$\bar{v}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$

当 $\mathrm{\Delta }t=t_2-t_1\mathrm{趋}\mathrm{近}\mathrm{于}0$ 时，

$v_1=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ 又被称为瞬时速度。

在数学中，

我们有 $tan\theta =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_2}$

记 $\mathrm{\Delta }y=f(x_2)-f(x_2)$

$\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$

导数就是

$f^{\prime }(x_1)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_1+\mathrm{\Delta }x)-f(x_1)}{\mathrm{\Delta }x}$

例题

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果在第 $x$ h 时，原油的温度（单位摄氏度）为 $y=f(x)=x^2-7x+15(0\le x\le 8)$，计算第 2 h 与第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义

解：

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x_1+\mathrm{\Delta }x)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

$=\frac{(x_1+\mathrm{\Delta }x{)}^2-7(x_1+\mathrm{\Delta }x)+15-(x_1^2-7x_1+15)}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\frac{2\mathrm{\Delta }x\cdot x_1+(\mathrm{\Delta }x{)}^2-7\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}$

$=2x_1-7+\mathrm{\Delta }x$

所以 $f^{\prime }(2)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(2\times 2-7+\mathrm{\Delta }x)=-3$

所以意义是在此刻温度以 $3^{\circ }C/h$ 下降。