难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$3+1=2a$

$a=2$

$c=\sqrt{3}$

$b^2=a^2-c^2=1$

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）①

$E:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

设直线 OP: y=kx

$\frac{|OQ|}{|OP|}=\frac{|x_Q|}{|x_P|}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ y=kx\end{array}$

$x_p^2=\frac{4}{1+4k^2}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx\end{array}$

$x_q^2=\frac{16}{1+4k^2}$

$\frac{|x_Q|}{|x_p|}=\sqrt{\frac{x_Q^2}{x_p^2}}=\sqrt{\frac{16}{4}}=2$

解（2）②（也可以通过几何关系得出 S_ABQ 与 S_OAB 的倍数关系，以 AB 作为底，Q、O 到 AB 的距离作为高）

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+m\end{array}$

$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$

$=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{4\times 16\times 4(16k^2+4-m^2)}}{16k^2+4}$

$=\sqrt{1+k^2}\frac{16\sqrt{16k^2+4-m^2}}{16k^2+4}$

$d=\frac{|k{x}_q-y_q+m|}{\sqrt{1+k^2}}$

$x_q=-2x_p,y_q=-2y_p$

$y_q=k{x}_q+m$

$d=\frac{|-2k{x}_p+2y_p+m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{3|m|}{\sqrt{1+k^2}}$

$S=\frac{1}{2}|AB|d$

$=\frac{1}{2}\sqrt{1+k^2}\frac{16\sqrt{16k^2+4-m^2}}{16k^2+4}\frac{|3m|}{\sqrt{1+k^2}}$

$=\frac{1}{2}\frac{3\times 16|m|\sqrt{16k^2+4-m^2}}{{16}^2+4}$

$=6\sqrt{\frac{m^2(16k^2+4-m^2)}{(4k^2+1{)}^2}}$

$=6\sqrt{\frac{m^2}{4k^2+1}\cdot \frac{4(4k^2+1)-m^2}{4k^2+1}}$

令 $\frac{m^2}{4k^2+1}=t,S=6\sqrt{t(4-t)}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

${\mathrm{\Delta }}_x=4\times 4\times 1(4k^2+1-m^2)⩾0$

$4k^2+1⩾m^2$

$0<t=\frac{m^2}{4k^2+1}⩽1$

$S_{max}=6\sqrt{3}$

TIP

注意射线 PO 和射线 OP 不是同一条直线。

射线 OP 端点是 O，从 O 向 P 无限延伸，射线 PO 端点是 P，从 P 向 O 无限延伸，所以不是同一条射线。

TIP

当一个直线为 $y=kx+m$，算三角形 $OAB$ 的面积，最后的式子出现了 2 个未知数变量 $k,m$，怎么求最值呢？

必然最后可以分离常数，然后换元。

换的元的取值范围根据 $\mathrm{\Delta }$ 来算。