难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题三变量

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{e^{x-1}}{ax}+lnx-x$.

（1）若 $a=1$，求 $f(x)$ 的极值；

（2）若 $f(x)$ 有三个极值点 $x_1,x_2,x_3,x_1<x_2<x_3$，且 $\sqrt{x_1{x}_3}⩽\sqrt{2}ln2$，求 $a$ 的最小值。

解（1）

$f(x)=\frac{e^{x-1}}{ax}+lnx-x(x>0)$

$a=1$

$f(x)=\frac{e^{x-1}}{x}+lnx-x$

$f^{\prime }(x)=\frac{x{e}^{x-1}-e^{x-1}}{x^2}+\frac{1}{x}-1$

$=\frac{x{e}^{x-1}-e^{x-1}+x-x^2}{x^2}$

$=\frac{e^{x-1}(x-1)+x(1-x)}{x^2}$

$=\frac{(e^{x-1}-x)(x-1)}{x^2}$

因为 $e^x⩾x+1$

所以 $e^{x-1}⩾x$

$e^{x-1}-x⩾0$

$0<x<1,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>1,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$f(x)$ 有极小值 $f(1)=1-1=0$

解（2）

$f(x)=\frac{e^{x-1}}{ax}+lnx-x$

$f^{\prime }(x)=\frac{x{e}^{x-1}-e^{x-1}}{a{x}^2}+\frac{1}{x}-1$

即 $\frac{x{e}^{x-1}-e^{x-1}}{a{x}^2}=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$ 有 3 解

$\frac{e^{x-1}(x-1)}{a{x}^2}=\frac{x-1}{x}$

所以 $x=1$ 为其中一个解

$e^{x-1}=ax$ 有 2 解

$a=\frac{e^{x-1}}{x}$

令 $g(x)=\frac{e^{x-1}}{x}$

$g^{\prime }(x)=\frac{x{e}^{x-1}-e^{x-1}}{x^2}=\frac{e^{x-1}(x-1)}{x^2}$

$0<x<1,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x>1,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$g(x{)}_{min}=g(1)=1$

所以 $0<x_1<x_2=1<x_3,a>1$

$\{\begin{array}{l}{e}^{x_1-1}=a{x}_1\\ e^{x_3-1}=a{x}_3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}_1-1=lna+ln{x}_1\\ x_3-1=lna+ln{x}_3\end{array}$

下式减上式，得

$x_3-x_1=ln\frac{x_3}{x_1}$

令 $\frac{x_3}{x_1}=t,t>1$

$x_3=t{x}_1$

$x_1=\frac{lnt}{t-1}$

$x_3=\frac{tlnt}{t-1}$

所以 $\sqrt{x_1{x}_3}=\frac{\sqrt{t}lnt}{t-1}⩽\sqrt{2}ln2$

令 $n=\sqrt{t},n>1,t=n^2$

$\phi (n)=\frac{2nlnn}{n^2-1}$

${\phi }^{\prime }(n)=2[\frac{(lnn+1)(n^2-1)-2n^{2}lnn}{(n^2-1{)}^2}]$

$=2[\frac{-(n^2+1)lnn+n^2-1}{(n^2-1{)}^2}]$

令 $m(n)=-(n^2+1)lnn+n^2-1$

$m^{\prime }(n)=-[2nlnn+n+\frac{1}{n}]+2n$

$m^{\prime \prime }(n)=-[2lnn+2+1-\frac{1}{n^2}]+2$

$=-2lnn+\frac{1}{n^2}-1$

$m^{\prime \prime \prime }(n)=-\frac{2}{n}-\frac{2}{n^3}<0$

所以 $m^{\prime \prime }(n)\downarrow ,m^{\prime \prime }(n)<m^{\prime \prime }(1)=0$

所以 $m^{\prime }(n)\downarrow ,m^{\prime }(n)<m^{\prime }(1)=0$

所以 $m(n)\downarrow ,m(n)<m(1)=0$

${\phi }^{\prime }(n)<0,\phi (n)\downarrow$

因为 $\phi (n)⩽\sqrt{2}ln2$

所以 $n⩾\sqrt{2}$

$t=n^2⩾2$

$x_1=\frac{lnt}{t-1}$

令 $F(t)=x_1=\frac{lnt}{t-1}$

$F^{\prime }(t)=\frac{1-\frac{1}{t}-lnt}{(t-1{)}^2}$

$F^{\prime \prime }(t)=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}=\frac{1-t}{t^2}<0$

所以 $F^{\prime }(t)\downarrow ,F^{\prime }(t)<F^{\prime }(2)<F^{\prime }(1)=0$

$F(t)\downarrow$

所以 $0<F(t)⩽F(2)=ln2$

$0<x_1⩽ln2$

$a=\frac{e^{x_1-1}}{x_1}$

根据 $g(x)$ 图像可知，

$a_{min}=g(ln2)=\frac{e^{ln2-1}}{ln2}=\frac{2}{eln2}$

TIP

给了自变量范围，将 2 零点方程式子相除；

如果给的是函数范围，就需要用另外的方法，不能两式相除。

TIP

求导，

令 $n=\sqrt{t},n>1,t=n^2$

$\phi (n)=\frac{2nlnn}{n^2-1}$