难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

$a=2c$

$\frac{c^2}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1$

$\frac{1}{4}+\frac{9}{4b^2}=1$

$\frac{3}{b^2}=1$

$b^2=3$

$\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-3}{a^2}=\frac{1}{4}$

$a^2=4$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）

设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),F(-x_1,y_1),G(0,t)$

$\frac{y_1-t}{-x_1}=\frac{y_2-t}{x_2}$

$-\frac{y_1}{x_1}+\frac{t}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}-\frac{t}{x_2}$

$t(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})=\frac{y_2}{x_2}+\frac{y_1}{x_1}$

$t=\frac{x_1{y}_2+x_2{y}_1}{x_1+x_2}$

$=\frac{x_1(k{x}_2-1)+x_2(k{x}_1-1)}{x_1+x_2}$

$=\frac{2k{x}_1{x}_2}{x_1+x_2}-1$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx-1\end{array}$

$3x^2+4y^2-12=0$

$3x^2+4(kx-1{)}^2-12=0$

$(3+4k^2)x^2-8kx-8=0$

$x_1{x}_2=\frac{-8}{3+4k^2}$

$x_1+x_2=\frac{8k}{3+4k^2}$

所以 $t=\frac{2k(-8)}{8k}-1=-3$

所以 $S=\frac{1}{2}\times 2|x_1-x_2|$

$=\frac{\sqrt{4\times 4\times 3(4k^2+3-1)}}{4k^2+3}$

$=4\sqrt{6}\frac{\sqrt{2k^2+1}}{4k^2+3}$

令 $\sqrt{2k^2+1}=t,t>1$

$2k^2=t^2-1$

所以 $S=4\sqrt{6}\frac{t}{2t^2-2+3}$

$=4\sqrt{6}\frac{t}{2t^2+1}$

$=4\sqrt{6}\frac{1}{2t+\frac{1}{t}}$

当 $2t^2=1,t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等。

所以 $2t+\frac{1}{t}\in (3,+\mathrm{\infty })$

$\frac{1}{2t+\frac{1}{t}}\in (0,\frac{1}{3})$

所以 $S\in (0,\frac{4\sqrt{6}}{3})$

重要结论

过 $y$ 轴上（或 $x$ 轴上）的一个定点，交椭圆于 2 个交点 $A,B$。作其中一个交点 $A$ 关于 $y$ 轴（或 $x$ 轴）的对称点 $A^{\prime }$，则 $A^{\prime }B$ 直线与 $y$ 轴（或 $x$ 轴）的交点为一个定值。

TIP

遇见 $t=\frac{x_1{y}_2+x_2{y}_1}{x_1+x_2}$ 这种式子，使用 统一坐标法。

用直线方程、或其他方程将坐标全统一为 x 或 y 坐标。