难度： 困难

标签： 放缩数列问题导数问题证明题洛必达

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=kx-xlnx,k\in R$

（1）当 $k=2$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）当 $0<x\le 1$ 时，$f(x)\le k$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

（3）设 $n\in N^{\ast }$，求证：$\frac{ln1}{2}+\frac{ln2}{3}+...+\frac{lnn}{n+1}\le \frac{n(n-1)}{4}$

解

第一问

略

第二问

$kx-xlnx⩽k,0<x⩽1$

$k(x-1)⩽xlnx$

当 $x=1$ 时，$f(x)⩽k$ 恒成立，

当 $x\in (0,1)$ 时，$k⩾(\frac{xlnx}{x-1}{)}_{max}$

令 $g(x)=\frac{xlnx}{x-1}$

$g^{\prime }(x)=\frac{(lnx+1)(x-1)-xlnx}{(x-1{)}^2}=\frac{x-lnx-1}{(x-1{)}^2}$

令 $h(x)=x-lnx-1$

$h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}<0$

所以 $h(x)$ 在 $x\in (0,1)$ 时单减，$h(1)=0$

所以 $h(x)>0,g^{\prime }(x)>0,g(x)$ 单增

利用洛必达定理，

$g(x{)}_{max}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{xlnx}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{lnx+1}{1}=1$

所以 $k⩾1$

第三问

根据第二问结论

$x-xlnx-1⩽0,x\in (0,1)$

下面的做法比较有技巧性，第一次使用大概率不知道。

就是对 $x$ 进行赋值，凑出我们想要的形式。

令 $t=\frac{1}{x},t\in (1,+\mathrm{\infty })$

$\frac{1}{t}+\frac{lnt}{t}-1⩽0$

$1+lnt-t⩽0$

$lnt⩽t-1$

令 $m^2=t,m^2\in (1,+\mathrm{\infty })$

$2lnm⩽m^2-1$

$\frac{2lnm}{m+1}⩽m-1$

$\frac{lnm}{m+1}⩽\frac{m-1}{2}$

即证 $\frac{1-1}{2}+\frac{2-1}{2}+...+\frac{n-1}{2}⩽\frac{n(n-1)}{4}$

即 $\frac{1}{2}\times [\frac{n(n+1)}{2}-n]$

$\frac{=\frac{1}{2}[n^2+n-2n}{2]}$

$=\frac{1}{2}[\frac{n(n-1)}{2}]$

$=\frac{n(n-1)}{4}⩽\frac{n(n-1)}{4}$

题目得证。