难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆圆过定点问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

解（2）

$C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$

要把条件翻译对，$GA\perp GO,OG=r$，所以 $AB$ 也是圆 $O$ 的切线。

由题意得，AB 是圆 O 的切线。

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

设 AB 为直径的圆为

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$

$x^2+y^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2-(y_1+y_2)y+y_1{y}_2=0$

设直线 $AB：y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-2=0$

$x_1+x_2=\frac{-4km}{2k^2+1},x_1{x}_2=\frac{2m^2-2}{2k^2+1}$

$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2m=\frac{-4k^{2}m+4k^{2}m+2m}{2k^2+1}=\frac{2m}{2k^2+1}$

$y_1{y}_2=(y_1-0)(y_2-0)=\frac{\frac{m^2}{k^2}-2}{\frac{1}{k^2}+2}$

$=\frac{m^2-2k^2}{2k^2+1}$

所以 $x^2+y^2+\frac{4km}{2k^2+1}x+\frac{2m^2-2}{2k^2+1}-\frac{2m}{2k^2+1}y+\frac{m^2-2k^2}{2k^2+1}=0$

$x^2+y^2+\frac{4km}{2k^2+1}x-\frac{2m}{2k^2+1}y+\frac{3m^2-2k^2-2}{2k^2+1}=0$

因为 AB 又是圆 O 的切线，所以

$d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$9m^2=6(k^2+1)$

$3m^2=2(k^2+1)$

所以 $x^2+y^2+\frac{4km}{2k^2+1}x-\frac{2m}{2k^2+1}y=0$

所以圆过定点 $(0,0)$

如何通过两个点设圆的方程？

如何通过两个点设圆的方程？

TIP

但凡看见了证明以……什么为直径的圆过定点，就两种思路：

1 是先把定点找到，证明数量积为零。

2 是不找定点，通过两点直径式先把圆的方程写出来，用韦达定理替换消去 $x_1+x_2,x_1{x}_2,y_1+y_2,y_1{y}_2$。