14 建系法解决高考向量问题（必看）

说说

如果我们已知两个向量的坐标表示，那么有时候解题会变得更容易。

如果用定义法的话，那么 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos\theta$。

而如果用建系法，那么

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2\\ \mathrm{若}\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b},\mathrm{那}\mathrm{么}{x}_1{y}_2=x_2{y}_1\\ \mathrm{若}\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b},\mathrm{那}\mathrm{么}{x}_1{x}_2+x_2{y}_2=0\end{array}$ 。

什么情况下可以建系？

• 有两个向量垂直的情况下
• 可以建系的题
• 比较难做的题

。。。（废话）

一般怎么建系？

例题 1

已知 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 为单位向量，且 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，若 $\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}-\sqrt{5}\overrightarrow{b}$，则 $cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>=$ ____.

解：

因为 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，所以 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 是垂直的。这时候非常适合建系。

$\therefore \overrightarrow{c}=(2,0)-(0,\sqrt{5})=(2,-\sqrt{5})$

$\therefore cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{c}|}=\frac{2\times 1+0\times (-\sqrt{5})}{1\cdot \sqrt{2^2+(-\sqrt{5}{)}^2}}$

$=\frac{2}{3}$

例题 2

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$AD$ 为 $BC$ 边上的中线，$E$ 为 $AD$ 的中点，则 $\overrightarrow{EB}=$（）。

$A.\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

$B.\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

$A.\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

$A.\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

解：

因为题目并没有说是什么三角形，所以我们可以假定它是特算的三角形，比如直角三角形。

直角三角形一般这样建系：（$AB$ 边为 $y$ 轴。）

$\therefore D(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),E(\frac{1}{4},\frac{1}{4}),B(0,1)$

$\therefore \overrightarrow{EB}=(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$

$=(-\frac{1}{4},0)+(0,\frac{3}{4})$

$=-\frac{1}{4}(1,0)+\frac{3}{4}(0,1)$

$=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$

所以答案选 $A$。

例题 3

已知 $\mathrm{△}ABC$ 是变成为 $2$ 的等边三角形，$P$ 为平面 $ABC$ 内一点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最小值是（）。

$A.-2$

$B.-\frac{3}{2}$

$C.-\frac{4}{3}$

$D.-1$

解：

等腰直角三角形一般这样建系：

我们设 $P$ 点坐标为 $(x,y)$

那么

$\overrightarrow{PB}=(1-x,-y)$

$\overrightarrow{PC}=(-x,\sqrt{3}-y)$

$\overrightarrow{PA}=(-1-x,-y)$

$\therefore \mathrm{原}\mathrm{式}=(-1-x,-y)\cdot (1-2x,\sqrt{3}-2y)$

$=(1+x)(2x-1)+(2y-\sqrt{3})y$

$=2x^2+x-1+2y^2-\sqrt{3}y$

现在就变成求值域问题，配方：

$=2(x+\frac{1}{4})+2(y-\frac{\sqrt{3}}{4})-1-\frac{2}{16}-\frac{6}{16}$

$=2(x+\frac{1}{4})+2(y-\frac{\sqrt{3}}{4})-\frac{3}{2}$

所以最小值为 $-\frac{3}{2}$

选 $B$。