08 题型技巧课：黄金代换

题型特征

已知 g 或求 g。

黄金代换

为啥要叫黄金代换？因为像黄金一样重要！

TIP

这里的 $R$ 指的是中心天体半径，而不是卫星轨道半径！

重力加速度 $g$ 其实也是加速度！

地表 g + 环绕模型

含有地表 g 的公式：$\frac{GMm}{R^2}=mg$

环绕模型公式：$\frac{GMm}{r^2}=ma=m\frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

已知地表重力加速度 g，用 $g{R}^2$ 换 $GM$

有以下公式：$\frac{g{R}^{2}m}{r^2}=ma=m\frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

TIP

使用黄金代换时式子里会有俩半径，r、R 别搞混了！

TIP

$\frac{g{R}^{2}m}{r^2}=\frac{GMm}{r^2}$ 是提供的力，右边的力是做圆周运动需要的力！

TIP

非圆周运动，不可用环绕模型方程，只能用牛二 + 黄代！

非地表 g + 环绕模型

重力加速度 $g$ 其实也是加速度！

根据牛二，$F=ma$，又由万有引力提供向心力，可以列方程：

$\frac{GMm}{r_2^2}=mg$

所以

$GM=g{r}_2^2$

然后对于轨道半径为 $r_1$ 的物体，

就可以这样列方程了：

$\frac{GMm}{r_1^2}=\frac{g{r}_2^{2}m}{r_1^2}=m\frac{v_1^2}{r_1}=m{\omega }^2{r}_1=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}{r}_1$

例题

题 1

解

$\frac{GMm}{R^2}=mg$

$M=\frac{g{R}^2}{G}$

题 2

解

$\frac{GMm}{R^2}=mg$

$g=\frac{GM}{R^2}$

$\frac{g_A}{g_B}=\frac{M_A}{M_B}\times \frac{R_B^2}{R_A^2}=2\times \frac{1}{9}=\frac{2}{9}$

$B$

题 3

解

$r=2R$

$\frac{g{R}^2}{r^2=\frac{v^2}{r}}$

$v=\sqrt{\frac{g{R}^2}{r}}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$

A 错。

$\frac{g{R}^2}{r^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{r}^3}{g{R}^2}}=\sqrt{\frac{4{\pi }^{2}8R^3}{g{R}^2}}=4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$

B 对。

$\frac{g{R}^2}{r^2}=a=\frac{g{R}^2}{4R^2}=\frac{g}{4}$

C 错。

D，$F=ma=\frac{mg}{4}$，错。

$B$

题 4

TIP

非圆周运动，不可用环绕模型方程，只能用牛二 + 黄代！

解

$F=ma$

A 对。

B 公式 $m{\omega }^{2}r$ 只适用于做圆周运动的环绕模型，不能用在做椭圆运动的物体上。错。

C 同 B。

D，用到公式 $\frac{GMm}{(R+h{)}^2}$ 和黄金代换公式，对。

$AD$

题 5

TIP

1. 是否用黄代取决于题目要求，灵活处理
2. 如果卫星的轨道半径就是中心天体的半径，那么 $mg$ 就是卫星的引力。$\frac{mg{R}^2}{r^2}=mg$

解

$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$

$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

A 错。

$\frac{GMm}{R^2}=m{\omega }^{2}R$

$\omega =\sqrt{\frac{GM}{R^3}}$

B 错。

$mg=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}R$

$T=2\pi \sqrt{\frac{G}{g}}$

C 对。

$a=\frac{GM}{R^2}$

D 错。

$C$

题 6

解

黄金代换公式：

$\frac{GMm}{R^2}=mg$

对高空中的点列黄金代换公式：

$\frac{GMm}{(R+h{)}^2}=\frac{mg}{4}$

两式解方程，得 $h=R$

$B$

题 7

解

$B$