如何判断一条直线过定点？

就是看当自变量 $x,y$ 取定点值时 $x_0,y_0$，此时不管未知参数 $a,b$ 怎么变，方程都成立。

比如直线 $y=k(x-2)$ 过定点 $(3,0)$

直线 $mx=(5n-8)y$ 成 $mx=py$ 过定点 $(0,0)$

直线 $y=k(x-4)+7$ 过定点 $(4,7)$

同理，如何判断一个圆过一个定点呢？

也是看当 $x,y$ 取何值时，不管变量 $a,b$ 怎么变，方程都成立。

比如圆方程 $x^2+y^2+\frac{4km}{2k^2+1}x-\frac{2m}{2k^2+1}y=0$

可以看成方程 $x^2+y^2+ax-by=0$

当 $x=0,y=0$ 时，方程恒成立。

实际操作时，可以把方程中的变量 $a,b$ 看成是自变量，然后合并同类项，得到

$(Ax+By)a+(Cx+Dy)b=0$ 这个方程，

然后解方程 $Ax+By=0,Cx+Dy=0$，求出的 $(x,y)$ 就是过的定点。

比如

有方程 $x^2+y^2-(4m^2+2)x-4my-12m^2-15=0$

那么

$\{\begin{array}{l}-4x{m}^2-12m^2=0\\ -4ym=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-4x-12=0\\ -4y=0\end{array}$

将含变量的系数都令为零。

解得 $x=-3,y=0$。

例题

题 1

直线 $l:(a+2)x+(1-a)y-3=0$，当 a 变动时，所有直线都通过定点（）

解

将 $a$ 放在一起，如果 a 的系数为零，那么这时直线与 a 的取值无关。由此得出定点。

题 2

已知直线 $l:(m+1)x+(1-m)y+(m-3)=0$，则原点到直线 $l$ 的距离的最大值等于___.