难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

设函数 $f(x)=lnx-a(x-1)e^x$，其中 $a\in R$.

（1）若 $a⩽0$，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $0<a<\frac{1}{e}$

（i）证明 $f(x)$ 恰有两个零点

（ii）设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极值点，$x_1$ 为 $f(x)$ 的零点，且 $x_1>x_0$，证明 $3x_0-x_1>2$.

解 1

$f(x)=lnx-a(x-1)e^x,x>0$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a[e^x+(x-1)e^x]$

$=\frac{1}{x}-ax{e}^x$

$=\frac{1-a{x}^2{e}^x}{x}$

因为 $a⩽0$

所以 $1-a{x}^2{e}^x>0$

$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow ,x\in (0,+\mathrm{\infty })$

解 2（i）

若 $0<a<\frac{1}{e}$

则 $1-a{x}^2{e}^x$ 单调递减，

存在 $x_0$ 使得 $1-a{x}_0^2{e}^{x_0}=0$

$a=\frac{1}{x_0^2{e}^{x_0}}\downarrow$

因为 $a\in (0,\frac{1}{e})$

所以 $x_0\in (1,+\mathrm{\infty })$

因为 $0<x<x_0,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>x_0,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$f(1)=0$

所以 $f(x_0)>0$

$x\to +\mathrm{\infty },f(x)\to -\mathrm{\infty }$

所以 $f(x)$ 恰有 2 个零点

解 2（ii）

要证 $3x_0-x_1>2$

即证 $3x_0-2>x_1>x_0$

即证 $f(3x_0-2)<f(x_1)=0$

$ln(3x_0-2)-a(3x_0-3)e^{3x_0-2}<0$

$ln(3x_0-2)-\frac{(3x_0-3)e^{3x_0-2}}{x_0^2{e}^{x_0}}<0$

$ln(3x_0-2)-\frac{(3x_0-3)e^{2x_0-2}}{x_0^2}<0$

因为 $lnx<x-1$

$e^x>x+1$

$e^{x-1}>x$

$(\frac{e^{x-1}}{x}{)}^2>(\frac{x}{x}{)}^2$

所以 $ln(3x_0-2)-(3x_0-3)(\frac{e^{x_0-1}}{x_0}{)}^2<3x_0-3-(3x_0-3)(\frac{x_0}{x_0}{)}^2=0$

所以 $3x_0-x_1>2$

证毕。

TIP

遇到含有零点、极值点的问题时，把零点移到等式的单独一边去，这样 $f(x_1)=0$

TIP

如果最后要证明式子大于或小于 0，但是对式子求导比较难求，可以使用放缩。通常都是比较简单的方式。

$lnx<x-1$

$e^x>x+1$

$e^{x-1}>x$

$\frac{e^x}{x}>\frac{x}{x}=1$