难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题求四边形面积

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$a=2b$

$\frac{1}{2}\times 2c\times b=4\sqrt{3}$

$bc=4\sqrt{3}$

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

解（2）

$a=2b$

$\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$S(x_1,-y_1),T(t,0)$

$\frac{y_2}{x_2-t}=\frac{y_2+y_1}{x_2-x_1}$

$x_2-t=\frac{y_2(x_2-x_1}{y_2+y_1)}$

$t=x_2-y_2(x_2-x_1)$

$=\frac{x_2{y}_1+x_2{y}_2-x_2{y}_2+x_1{y}_2}{y_1+y_2}$

$=\frac{x_2{y}_1+x_1{y}_2}{y_1+y_2}$

设直线 $l:x=my+1$

$t=\frac{y_1+y_2+2m{y}_1{y}_2}{y_1+y_2}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x=my+1\end{array}$

$(m^2+4)y^2+2my+1-4b^2=0$

$\frac{y_1{y}_2=\frac{1-4b^2}{m^2+4},y_1{y}_2=-2m}{m^2+4}$

$t=1+2m\frac{1-4b^2}{-2m}=4b^2$

$\overrightarrow{OT}=(4b^2,0)$

$\overrightarrow{OQ}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

$=(m{y}_1+m{y}_2+2,\frac{-2m}{m^2+4})$

$=(\frac{8}{m^2+4},\frac{-2m}{m^2+4})$

因为 Q 在椭圆上，所以

$\frac{1}{4b^2}\frac{64}{(m^2+4{)}^2}+\frac{1}{b^2}\frac{4m^2}{(m^2+4{)}^2}=1$

$\frac{16+4m^2}{b^2(m^2+4{)}^2}=1$

$\frac{4(m^2+4)}{b^2(m^2+4{)}^2}=1$

$4=b^2(m^2+4)$

$b^2=\frac{4}{m^2+4}$

$|y_1-y_2|=\frac{\sqrt{4\times 4b^2\times b^2(4b^2+b^2{m}^2-1)}}{4b^2+b^2{m}^2}$

$=\frac{4b^2\sqrt{4b^2+b^2{m}^2-1}}{4b^2+b^2{m}^2}$

$=\frac{4\sqrt{4b^2+b^2{m}^2-1}}{m^2+4}$

$=\frac{4\sqrt{3}}{m^2+4}$

$S_{\mathrm{△}OMN}=\frac{1}{2}|y_1-y_2|$

$S_1=2S_{\mathrm{△}OMN}=\frac{4\sqrt{3}}{m^2+4}$

$\overrightarrow{OT}=(4b^2,0)=(\frac{16}{m^2+4},0)$

$\overrightarrow{OT}\cdot \overrightarrow{OQ}=\frac{16\times 8}{(m^2+4{)}^2}$

所以要求的式子 $=m[\frac{16\times 8}{(m^2+4{)}^2}-\frac{16\times 3}{(m^2+4{)}^2}]$

$=m[\frac{80}{(m^2+4{)}^2}]$

$=\frac{80m}{m^4+8m^2+16}$

$=\frac{80}{m^3+8m+\frac{16}{m}}$

因为点 $P(1,0)$ 在椭圆内，所以 $1<a=2b$

$1<4b^2$

$\frac{4}{m^2+4}>\frac{1}{4}$

$16>m^2+4$

$m^2<12$

$0<m<2\sqrt{3}$

令 $f(m)=m^3+8m+\frac{16}{m}$

$f^{\prime }(m)=3m^2+8-\frac{16}{m^2}$

$=\frac{3m^4+8m^2-16}{m^2}$

$=(m^2+4)(3m^2-4)$

所以 $0<m<\sqrt{\frac{4}{3}}$，$f^{\prime }(m)<0$,$f(m)\downarrow$

$\sqrt{\frac{4}{3}}<m<2\sqrt{3}$,$f^{\prime }(m)>0$,$f(m)\uparrow$

所以 $max=\sqrt{\frac{4}{3}}\frac{80}{(\frac{4}{3}+4{)}^2}$

$=\frac{2\sqrt{3}}{3}\frac{80}{\frac{{16}^2}{9}}$

$=\frac{2\sqrt{3}}{3}\frac{80\times 9}{{16}^2}$

$=\frac{30\sqrt{3}}{16}$

$=\frac{15\sqrt{3}}{8}$

TIP

注意，第一问的条件，第二问并不能用。即这道题的椭圆方程是含有未知数的，

95% 的题都是能计算出曲线方程的确切方程，但还有 5% 不行，就像这道题！

TIP

一个点、一个向量在椭圆上，必须把这个点带回椭圆方程，这时候必然出现一个等式，是关于未知量的关系。

这个条件是必然翻译的，不管题怎么问。

TIP

点 P 在椭圆内这个条件也需要翻译，得出 m 的取值范围。因为我们并不知道确切的椭圆方程，只知道 $a=2b$。