难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题双曲线三点共线法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{b}{a}=\sqrt{3},b=\sqrt{3}b$

$c=2$

$c^2=4=a^2+b^2=4a^2$

$a^2=1,b^2=3$

$C:x^2-\frac{y^2}{3}=1$

解（2）法一，表示出两条直线，然后解直线。依然是只设一个点。

$Q(\frac{1}{2},y_0)$，设 $P(x_1,y_1)$

根据平行，

$2y_Q=\frac{y_1}{x_1-1}$

$y_Q=\frac{y_1}{2(x_1-1)}$

$Q(\frac{1}{2},\frac{y_1}{2(x_1-1)})$

$M(\frac{x_1+1}{2},\frac{y_2}{2})$

$k_{QF}=-\frac{y_1}{3(x_1-1)}$

直线 $QF:x=-\frac{3(x_1-1)}{y_1}y+2$

直线 $OM:y=\frac{y_1}{x_1+1}x$

整理

$x-2=-\frac{3(x_1-1)}{y_1}y$

$x=\frac{x_1+1}{y_1}y$

$x^2-2x=\frac{-3(x_1^2-1)}{y_1^2}{y}^2$

$=\frac{-3(x_1^2-1)}{3(x_1^2-1)}\cdot y^2=-y^2$

所以 $x^2+y^2-2x=0$

解（2）法二（设点，三点共线法）

设交点 $G(x_0,y_0),P(x_1,y_1)$

因为 $OQ//BP$

所以 $k_{OQ}=k_{BP},\frac{y_Q}{\frac{1}{2}}=2y_Q=\frac{y_1}{x_1-1}$

$y_Q=\frac{y_1}{2(x_1-1)}$

$Q(\frac{1}{2},\frac{y_1}{2(x_1-1)})$

因为 $QGF$ 三点共线，所以

$\frac{\frac{y_1}{2(x_1-1)}}{-\frac{3}{2}}=\frac{y_0}{x_0-2}$

$-\frac{1}{3}\frac{y_1}{x_1-1}=\frac{y_0}{x_0-2}$ ①

OGM 三点共线

$\frac{y_0}{x_0}=\frac{y_1}{x_1+1}$②

1 式与 2 式联立，消去 $x_1,y_1$

$\frac{y_0^2}{x_0(x_0-2)}=-\frac{1}{3}\frac{y_1^2}{x_1^2-1}=-\frac{1}{3}\frac{3x_1^2-3}{x_1^2-1}=-1$

所以 $x_0^2+y_0^2-2x_0=0$

法二思路

用 $P(x_0,y_0)$ 去表示其他点，更方便，简单，所以设 $P(x_0,y_0)$，且它在双曲线上，满足曲线关系 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

TIP

有时候可以不用韦达定理，不是每道题都要用韦达定理。当我们设出两个点 $A(x_1,y_2),B(x_2,y_2)$ 时大概率会用到韦达定理，

但只有一个点时基本不用。