难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题双曲线斜率和问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{b}{a}=1$

$\frac{1}{2}a\cdot 1=\frac{1}{2}$

$a=1$

$b=1$

$C:x^2-y^2=1$

解（2）

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),G(x_2,y_G),A(1,0)$

$k_{MA}=k_{GA}$

$\frac{y_1}{x_1-1}=\frac{y_G}{x_2-1}$

$y_G=\frac{y_1(x_2-1)}{x_1-1}$

$H(x_2,\frac{1}{2}{y}_2+\frac{1}{2}\frac{y_1(x_2-1)}{x_1-1})$

$k_{AH}=\frac{\frac{1}{2}[y_2+\frac{y_1(x_2-1)}{x_1-1}]}{x_2-1}$

$=\frac{1}{2}[\frac{y_2}{x_2-1}+\frac{y_1}{x_1-1}]$

设直线 $l:y-1=k(x-1)$

$y=kx-k+1$

所以 $k_{AH}=\frac{1}{2}(\frac{k{x}_2-k+1}{x_2-1}+\frac{k{x}_1-k+1}{x_1-1})$

$=\frac{1}{2}[k+\frac{1}{x_2-1}+k+\frac{1}{x_1-1}]$

$\frac{1}{2}[2k+\frac{x_1+x_2-2}{(x_1-1)(x_2-1)}]$

$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=1,x^2-y^2-1=0\\ y=kx+1-k,\mathrm{设}1-k=m,y=kx+m\end{array}$

$x^2-(k+m{)}^2-1=0$

$(1-k^2)x^2-2kmx-m^2-1=0$

$x_1+x_2=\frac{2km}{1-k^2}=\frac{2k(1-k)}{1-k^2}=\frac{2k-2k^2}{1-k^2}$

$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{1-k^2-2km-m^2-1}{1-k^2}=\frac{-k^2-2km-m^2}{1-k^2}=\frac{-(k+m{)}^2}{1-k^2}$

$=\frac{-1}{1-k^2}$

所以 $k_{AH}=\frac{1}{2}[2k+\frac{2k-2k^2-2+2k^2}{-1}]$

$=\frac{1}{2}[2k-2k+2]$

$=1$

TIP

一根竖线上，有 3 个点且有个中点。那么找一个定点 $P$，

$P$ 点到中点的斜率也等于 P 到另外两个点的斜率之和的一半。

$P(x_p,y_p)$

$A(x_0,y_1)$

$B(x_0,\frac{y_1+y_2}{2})$

$C(x_0,y_2)$

$k_{PA}=\frac{y_1}{x_0-x_p}$

$k_{PB}=\frac{y_1+y_2}{2(x_0-x_p)}$

$k_{PC}=\frac{y_2}{x_0-x_p}$