难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题拐点偏移对数均值不等式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=x-lnx,g(x)=4x^3-3x^2-6x^{2}lnx-1$

（1）若 $f(x)⩾ax+1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围

（2）若 $\frac{1}{2}<x_1<x_2<\frac{3}{2},\mathrm{且}g(x_1)+g(x_2)=0$，试比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小，并说明理由。

第一问

$x-lnx⩾ax+1,x>0$

$a⩽1-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}$

令 $h(x)=1-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}$

$h^{\prime }(x)=-(\frac{1-lnx}{x^2})+\frac{1}{x^2}$

$=\frac{lnx}{x^2}$

$(0,1),h^{\prime }(x)<0,h(x)\downarrow$

$(1,+\mathrm{\infty }),h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$h(x{)}_{min}=h(1)=0$

$\therefore a⩽h(x{)}_{min}=0$

$a⩽0$

第二问

$g^{\prime \prime }=12(x-1-lnx)+12x(1-\frac{1}{x})$

$=12(2x-2-lnx)$

$\because g^{\prime }(x)=12x^2-6x-6(2xlnx+x)$

$=12x^2-6x-12xlnx-6x$

$=12x(x-1-lnx)⩾0$

$g(x_1)+g(x_2)=0$

所以 $\frac{1}{2}<x_1<1<x_2<\frac{3}{2}$

拐点为 1.

先假设 $x_1+x_2>2$

证明假设，

$x_1>2-x_2$

$-g(x_2)=g(x_1)>g(2-x_2)$

令 $G(x)=g(x)+g(2-x)$

$G^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-g^{\prime }(2-x)$

$G^{\prime \prime }=g^{\prime \prime }(x)+g^{\prime \prime }(2-x)$

$=-12lnx(2-x)>0$

所以 $G^{\prime }(x)\uparrow ,G^{\prime }(1)=0$

$\therefore G^{\prime }(x)>0,G(x)\uparrow ,G(1)=0$

$G(x)>0$

$\therefore -g(x)<g(2-x_1)$

假设不成立，所以 $x_1+x_2<2$

由图易知，$f(x_1)>f(x_2)$

证明 $f(x_1)>f(x_2)$

即证 $x_1-ln{x}_1>x_2-ln{x}_2$

$ln{x}_2-ln{x}_1>x_2-x_1$

$1>\frac{x_2-x_1}{ln\frac{x_2}{x_1}}$

因为 $1>\frac{x_1+x_2}{2}>\frac{x_2-x_1}{ln\frac{x_2}{x_1}}$（接下来证明对数均值不等式即可，一定成立）

$\therefore$ $f(x_1)>f(x_2)$