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难度：困难

标签：导数问题多变量问题

是否做正确：未标明

是否属于易错题：未标明

如果做错原因可能是：未标明

设函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} + a x^{2}$ ，其中 $a \in R$ .

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）若 $f (x)$ 存在两个极值点，设极大值点为 $x_{0}$ ， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，求证： $x_{0} - x_{1} ⩾ l n 2$ .

解（1）

$f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} + a x^{2}$

$f^{'} (x) = \frac{e^{x} - (x + 1) e^{x}}{e^{2 x}} + 2 a x$

$= \frac{- x}{e^{x}} + 2 a x$

$= \frac{2 a x e^{x} - x}{e^{x}}$

$= \frac{x (2 a e^{x} - 1)}{e^{x}}$

一、若 $a ⩽ 0$

$x < 0, f^{'} (x) > 0, f (x) ↑$

$x > 0, f^{'} (x) < 0, f (x) ↓$

二、若 $a > 0$

$2 a e^{x} - 1 = 0$

$x = l n \frac{1}{2 a}$

（i） $0 < a < \frac{1}{2}$

$x = l n \frac{1}{2 a} > 0$

$x < 0, f^{'} (x) > 0, f (x) ↑$

$0 < x < l n \frac{1}{2 a}, f^{'} (x) < 0, f (x) ↓$

$x > l n \frac{1}{2 a}, f^{'} (x) > 0, f (x) ↑$

（ii） $a = \frac{1}{2}$

$x = 0$

$f^{'} (x) ⩾ 0, f (x) ↑$

（iii） $a > \frac{1}{2}$

$x = l n \frac{1}{2 a} < 0$

$x < l n \frac{1}{2 a}, f^{'} (x) > 0, f (x) ↑$

$l n \frac{1}{2 a} < x < 0, f^{'} (x) < 0, f (x) ↓$

$x > 0, f^{'} (x) > 0, f (x) ↑$

解（2）法一（常规方法，把零点移到等式的一边去）

因为 $f (x)$ 存在两个极值点，

所以 $0 < a < \frac{1}{2}$ 或 $a > \frac{1}{2}$

一、当 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时

极大值点 $x_{0} = 0$

证 $x_{0} - x_{1} ⩾ l n 2$

即证 $x_{0} - l n ⩾ x_{1}$

$- l n 2 ⩾ x_{1}$

$x_{1} ⩽ - l n 2 < 0$

$f (x_{1}) ⩽ f (- l n 2)$

$f (- l n 2) ⩾ 0$

$\frac{- l n 2 + 1}{\frac{1}{2}} + a (l n 2)^{2} ⩾ 0$

$- 2 l n 2 + 2 + a (l n 2)^{2} ⩾ 0$

$- 2 + \frac{2}{l n 2} + a l n 2 ⩾ 0$

因为 $- 2 + \frac{2}{l n 2} + a l n 2 > - 2 + \frac{2}{l n 2} > - 2 + \frac{2}{l n e} = 0$

所以 $x_{0} - x_{1} ⩾ l n 2$

二、当 $a > \frac{1}{2}$

$x_{0} = l n \frac{1}{2 a}$

证 $x_{0} - x_{1} ⩾ l n 2$

即证

$0 > l n \frac{1}{2 a} > l n \frac{1}{2 a} - l n 2 ⩾ x_{1}$

$f (l n \frac{1}{2 a} - l n 2) ⩾ f (x_{1}) = 0$

$f (l n \frac{1}{4 a}) ⩾ 0$

$\frac{- l n 4 a + 1}{\frac{1}{4 a}} + a (l n 4 a)^{2} ⩾ 0$

$- 4 a l n 4 a + 4 a + a (l n 4 a)^{2} ⩾ 0$

$- 4 + \frac{4}{l n 4 a} + l n 4 a ⩾ 0$

因为 $- 4 + \frac{4}{l n 4 a} + l n 4 a ⩾ - 4 + 2 \sqrt{4} = 0$ ，当且仅当 $2 = l n 4 a, e^{2} = 4 a, a = \frac{e^{2}}{4}$ 时取等

所以 $x_{0} - x_{1} ⩾ l n 2$

证毕。

解（2）法一（根据零点方程、极值点方程 2 个方程，把 a 消掉得出

x_{0}, x_{1}

关系）

因为 $f (- 1) = a > 0$

所以 $x_{1} < - 1$

当 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时

证 $x_{0} = 0$

即证 $- x_{1} ⩾ l n 2$

$- x_{1} > l n e > l n e 2$

所以 $x_{0} - x_{1} ⩾ l n 2$

当 $a > \frac{1}{2}$ 时

证 $x_{0} - x_{1} ⩾ l n 2$

${\begin{cases} \frac{x_{1} + 1}{e^{x_{1}}} = - a x_{1}^{2} \\ x_{0} = l n \frac{1}{2 a} \end{cases}$

$e^{x_{0}} = \frac{1}{2 a}$

$a = \frac{1}{2 e^{x_{0}}}$

$\frac{x_{1} + 1}{e^{x_{1}}} = - \frac{x_{1}^{2}}{2 e^{x_{0}}}, (x_{1} < - 1)$

$2 e^{x_{0}} (x_{1} + 1) = - x_{1}^{2} e^{x_{1}}$

$2 e^{x_{0} - x_{1}} = - \frac{x_{1}^{2}}{x_{1} + 1}$

$- 2 e^{x_{0} - x_{1}} = \frac{x_{1}^{2}}{x_{1} + 1} = \frac{(x_{1} + 1)^{2} - 2 (x_{1} + 1) + 1}{x_{1} + 1} = x_{1} + 1 + \frac{1}{x_{1} + 1} - 2 (x_{1} < - 1)$

所以 $- 2 e^{x_{0} - x_{1}} < - 4$

$e^{x_{0} - x_{1}} > 2$

$x_{0} - x_{1} > l n 2$

TIP

对于 $f^{'} (x) = \frac{x (2 a e^{x} - 1)}{e^{x}}$ 这种类二次导函数，根据 $a$ 的取值范围分类，可以分一、二两种情况，第二种情况下还可以细分 3 种情况。

一、 $a < 0$

此时 $(2 a e^{x} - 1) < 0$ 恒成立

二、 $a > 0$

$2 a e^{x} - 1 = 0$

$x = l n \frac{1}{2 a}$

然后根据 $x = l n \frac{1}{2 a}$ 与 $0$ 的关系，再分 3 种情况进行讨论：

$\frac{1}{2 a} < 0$
$\frac{1}{2 a} = 0$
$\frac{1}{2 a} > 0$

TIP

$f (x) = x + \frac{1}{x} - 2$ 是双钩函数，

$x > 0$ 时， $f (x) ⩾ 1$ ，当 $x = 1$ 时取等

$x < 0$ 时， $f (x) ⩽ - 1$ ，当 $x = - 1$ 时取等

TIP

看到 $\frac{x_{1}^{2}}{x_{1} + 1}$ ，想到双钩函数。

$\frac{x_{1}^{2}}{x_{1} + 1} = \frac{(x_{1} + 1)^{2} - 2 (x_{1} + 1) + 1}{x_{1} + 1} = x_{1} + 1 + \frac{1}{x_{1} + 1} - 2 (x_{1} < - 1)$

1.1 解不等式

1.1.1 基础不等式的解法

1.1.2 函数不等式的解法

1.2 基本不等式（均值不等式）

1.2.1 基础知识与简单应用

1.2.2 有等量关系的多元最值

1.2.3 缺少等量关系的多元最值

1.3 二次函数基础模型

1.3.1 二次恒成立

1.3.2 二次函数根的分布

1.4 数学必备常识与技巧

1.4.1 高考数学必备基础常识

1.4.2 选择填空通用应试技巧

1.5 复数

1.5.1 复数的概念与运算

2.1 函数的概念与表示

2.1.1 函数值域

2.2 函数的性质

2.2.1 单调性

2.2.2 奇偶性与对称性

2.2.3 周期性

2.2.4 性质综合应用

2.3 基本初等函数

2.3.1 指对幂函数

2.4 函数的应用

2.4.1 函数图像及变换

2.4.2 根与方程问题

3.1 导数的概念与意义

3.1.1 导数的基本概念

3.1.2 导数的几何意义

3.2 单调性问题

3.2.1 讨论单调区间

3.2.2 已知单调性求参数范围

3.3 极值最值问题

3.3.1 最值讨论与值域

3.3.2 双逻辑连接词下的函数问题

3.4 恒成立与存在性问题

3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围

3.4.2 已知参数范围证明恒成立

3.5 根与方程问题

3.5.1 根与零点问题

3.5.2 切线相关问题

3.5.3 双零点问题

3.5.4 极值点问题

4.1 三角函数的恒等变换

4.1.1 基础公式问题

4.1.2 字母型角度化简求值问题

4.1.3 综合问题

4.2 三角函数的图像

4.2.1 正弦型三角函数图像

4.2.2 三角函数的图像变换

4.2.3 三角函数图象的性质

4.3 解三角形

4.3.1 三角形中的基础公式问题

4.3.2 三角形中的代数求值问题

4.3.3 三角形中的几何问题

4.3.4 三角形中的范围与最值问题

5.1 向量基本问题

5.1.1 三大基本方法

6.1 等差与等比数列

6.1.1 等差数列

6.1.2 等比数列

6.2 求通项公式

6.2.1 通项公式与递推公式基础

6.2.2 项与项递推求通项

6.2.3 项与和递推求通项

7.1 空间几何体

7.1.1 基本问题

7.1.2 与球有关的问题

7.2 空间中的位置关系

7.2.1 位置关系选择填空

7.2.2 位置关系解答题

7.3 空间中的角度与距离

7.3.1 传统几何法解空间角度与距离

7.3.2 空间向量法解空间角度与距离

8.1 排列组合

8.1.1 计数原理

8.1.2 排列组合及常见计数模型

8.1.3 二项式定理

8.2 概率