难度： 困难

标签： 数列问题导数问题极值点“0”的运用

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=e^x-sinx-cosx,g(x)=e^x+sinx+cosx$

（1）证明：当 $x>-\frac{5\pi }{4}$ 时，$f(x)\ge 0$

（2）若 $g(x)\ge 2+ax$，求 a。

解

第一问

$f(x)=e^x-\sqrt{2}sinx(x+\frac{\pi }{x})$

当 $x\in (-\frac{5\pi }{4},-\frac{\pi }{4})$ 时，

$e^x>0$

$-\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})\in (0,-\sqrt{2})$

所以 $e^x-\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})>0,x\in (-\frac{5\pi }{4},-\frac{\pi }{4})$

当 $\frac{x\in (-\pi }{4),\frac{3\pi }{4}}$ 时

$f^{\prime }(x)=e^x-\sqrt{2}cos(x+\frac{\pi }{4})$

$f^{\prime }(x)$ 在 $\frac{(-\pi }{4,\frac{3\pi }{4})}$ 单调递增

$f^{\prime }(0)=0$

所以 $x\in (-\frac{\pi }{4},0),f^{\prime }(x)<0,f(x)\mathrm{单}\mathrm{减}$

$x\in (0,\frac{3\pi }{4}),f^{\prime }(x)>0,f(x)\mathrm{单}\mathrm{增}$

$f(x)⩾f(x{)}_{min}=f(0)=0$

当 $x\in (\frac{3\pi }{4},+\mathrm{\infty })$ 时

$e^x>e^{\frac{3\pi }{4}}>e^2>\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})$

综上，$x>-\frac{5\pi }{4}$ 时，$f(x)⩾0$

第二问

$e^x+sinx+cosx⩾2+ax$

令 $g(x)=e^x+sinx+cosx-ax-2⩾0$

$g^{\prime }(x)=e^x+cosx-sinx-a$

$g(0)=0$

所以 $g^{\prime }(0)=1+1-a=0$

所以 $a=2$

下证，在 $x\in R,a=2$ 时，$g(x)⩾0$

当 $x>-\frac{5\pi }{4}$ 时，

$g^{\prime }\prime (x)⩾0$

所以 $g^{\prime }(x)$ 单增

$g^{\prime }(0)=1+1-2=0$

所以 $x\in (-\frac{5\pi }{4},0),g^{\prime }(x)<0,g(x)$ 单减

$x\in (0,+\mathrm{\infty }),g^{\prime }(x)>0,g(x)$ 单增

$\therefore x\in (-\frac{5\pi }{4},+\mathrm{\infty }),g(x)⩾g(0)=0$

当 $x⩽-\frac{5\pi }{4}$ 时

$g(x)⩾0-1-1-2x-2=-2x-4⩾0$

综上，$a=2,x\in R,f(x)⩾0$