放缩

需要了解的常见函数大小

$$\{\begin{array}{l}y=e^x\\ y=x+1\\ y=x\\ y=log(x)\\ y=x-1\\ y=log(x+1)\\ log(x)+1\end{array}$$

结论

$$\{\begin{array}{l}{e}^x⩾x+1,(x=0\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等})\\ e^x>x\\ x⩾\ln x+1,(x=1\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等})\\ x⩾ln(x+1),(x=0\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等})\\ x\ge lnx\end{array}$$

$x$ 与 $lnx$ 与 $lnx+1$ 的图像

可以观察到，越接近 0，$lnx$ 和 $lnx+1$ 就越接近，像是重合了一样。

这是正常的现象，我们可以想象一条竖直的长度为 1 的线段，过这条线段的两个端点的直线的斜率越陡，这两条直线看起来就越重合。

并且我们还需要注意 $x$ 与 $lnx+1$ 唯一的交点 $(1,1)$

$x$ 与 $lnx$ 与 $lnx+1$ 与 $ln(x+1)$ 的图像

我们还需要注意 $x$ 与 $ln(x+1)$ 唯一的交点 $(0,0)$

$e^x$ 与 $x$ 与 $x+1$ 的图像

我们还需要注意 $e^x$ 与 $x+1$ 唯一的交点 $(0,1)$

常见的放缩

我们知道，$e^x$ 和 $lnx$ 是关于 $x$ 对称的，即 $e^x$ 和 $lnx$ 互为反函数。

$e^x>x+1>x>x-1>lnx,x>0$

$e^x>x+1$ 两边同取对数，得 $x>ln(x+1)$