08 平面的定义与公理

说说

平面的定义

在数学中，平面是无线延伸的。

但是在作图中我们一般只用一个平行四边形来代替平面。

我们一般还把这个平面叫做 $\alpha ,\beta ,\gamma$

与点的关系

如果我们在平面 $\alpha$ 内放了一个点 $A$。

那么我们说点属于这个平面。记作 $A\in \alpha$

从这里看出我们是把点看作元素，平面看成集合。

如果点 $B$ 不在平面 $\alpha$ 内，那么我们记 $B\notin \alpha$

公理 1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

TIP

两点成线，三点成面。

让我们用数学语言表示这个公理：

$A\in l,B\in l,A\in \alpha ,B\in \alpha ,\mathrm{那}\mathrm{么}l\subset \alpha$

公理 2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理 3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。

$\alpha \ne \beta$

$P\in \beta ,P\in \alpha$

$P\in \alpha \bigcap \beta ⟹l=\alpha \bigcap \beta$，且 $P\in l$

例题

用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系。

解：

（1）

$A\in \alpha ,A\in a$

$A=\alpha \bigcap \alpha ,B=a\bigcap \beta$

$l=\alpha \bigcap \beta$

（2）

$P=a\bigcap b$

$P\in l=\alpha \bigcap \beta$

$P=a\bigcap \beta$