难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题定点定值问题切线问题双切线问题抛物线同构

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$|PQ|=|x+4|$

$|PF|=\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}$

$|x+4|=2\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}$

$...$

$3x^2+4y^2=12$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）

设切线 $y-y_0=k(x-x_0)$

$y=kx-k{x}_0+y_0$，令 $-k{x}_0+y_0=m$

$y=kx+m$

$1=\frac{|m-k|}{\sqrt{1+k^2}}$

$1=\frac{m^2-2mk+k^2}{1+k^2}$

$m^2-2mk=1$

$(y_0-k{x}_0{)}^2-2(y_0-k{x}_0)k-1=0$

$y_0^2-2x_0{y}_{0}k+x_0{k}^2-2y_{0}k+2x_0{k}^2-1=0$

$(x_0^2+2x_0)k^2+(-2x_0{y}_0-2y_0)k+y_0^2-1=0$

$k_1+k_2=\frac{2x_0{y}_0+2y_0}{x_0^2+2x_0}$

$k_1{k}_2=\frac{y_0^2-1}{x_0^2+2x_0}$

$l_{MA}:y=k_1(x-x_0)+y_0$

$l_{MB}:y=k_2(x-x_0)+y_0$

当 $x=0,y_A=-k_1{x}_0+y_0$

$y_B=-k_2{x}_0+y_0$

$S_{\mathrm{△}MAB}=\frac{1}{2}{x}_0|y_A-y_B|$

$=\frac{1}{2}{x}_0|k_2{x}_0-k_1{x}_0|$

$=\frac{1}{2}{x}_0^2|k_2-k_1|$

$k_2-k_1=\sqrt{(k_1+k_2{)}^2-4k_1{k}_2}$

$=\sqrt{\frac{4x_0^2{y}_0^2+8x_0{y}_0^2+4y_0^2-4(y_0^2-1)(x_0^2+2x_0)}{(x_0^2+2x_0{)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{4x_0^2{y}_0^2+8x_0{y}_0^2+4y_0^2-4(x_0^2{y}_0^2+2x_0{y}_0^2-x_0^2-2x_0)}{(x_0^2+2x_0{)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{4y_0^2+4x_0^2+8x_0}{(x_0^2+2x_0{)}^2}}$

$4y_0^2=12-3x_0^2$

$|k_2-k_1|=\sqrt{\frac{12+x_0^2+8x_0}{x_0^2(x_0+2{)}^2}}$

$S=\frac{1}{2}{x}_0^2\sqrt{\frac{12+x_0^2+8x_0}{x_0^2(x_0+2{)}^2}}$

$=\frac{1}{2}{x}_0\sqrt{\frac{(x_0+2)(x_0+6)}{(x_0+2{)}^2}}$

$=\frac{1}{2}{x}_0\sqrt{\frac{x_0+6}{x_0+2}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x_0^2(x_0+6)}{x_0+2}}$

令 $f(x)=\frac{x^3+6x^2}{x+2},x\in [1,2]$

$f^{\prime }(x)=\frac{(3x^2+12x)(x+2)-(x^3+6x^2)}{(x+2{)}^2}$

$=\frac{2x(x^2+6x+12)}{(x+2{)}^2}$

所以 $f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$f(1)=\frac{7}{3}$

$f(2)=8$

$S_{min}=\frac{1}{2}\times \sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$

$S_{max}=\frac{1}{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2}$

$S\in [\frac{\sqrt{21}}{6},\sqrt{2}]$

3 项的平方

对一个未知点 $(x_0,y_0)$，通过点斜式设直线，然后根据直线翻译条件可能会有 3 项的平方 $(a+b+c{)}^2$。

所以在这之前应该先换元，比如令 $-k{x}_0+y_0=m$，不然直接算 3 项的平方有点难算。

算出 $m^2$ 与 $k$ 的式子后，在把 $m$ 换回来继续算。

反正最终无论如何都要把 3 项的平方给化简算出来，然后合并同类型得出关于 $k$ 的二次方程。

TIP

一个点在椭圆上，作一个圆的两条切线，就没有像在抛物线上那么简单了，

而需要通过点斜式设线，计算一个三次项的平方式子，计算量会大点。