03 题型技巧课：割补法与球壳模型

题型特征

1. 球挖掉一块，求剩下部分对物体的万有引力
2. 求实心球对内部物体的万有引力

万有引力定律的限制

挖补法的思想

要求这个多边形的面积，可以先补出完整的正方形，求出它的面积后，再减去补的三角形面积。

挖补法求万有引力

要使用挖补法求万有引力时，一般挖的那部分与另一个物体在一条直线上，这样比较好求力，可以直接进行加减。

球壳模型

球壳对内部任意位置的物体万有引力为 0。先阶段只需要记住这个结论就行。实际上通过微积分可以证明出这个结论。

实心球对内部物体的万有引力

中心小球对物体的万有引力：$\frac{G\frac{r^3}{R^3}Mm}{r^2}$

球壳对物体的万有引力：0

图像

（1）当 $r<R$

$F=\frac{G(\frac{r}{R}{)}^{3}Mm}{r^2}=\frac{GMm}{R^3}r=kr$

（2）当 $r⩾R$

$F=\frac{GMm}{r^2}$

所以物体在球内的时候，是一次函数。在球外时，是倒函数的平方。

为什么会有这种结论呢？

是因为物体在球内的时候，r 增大，那么 $M$ 的质量也在增大。

而物体在求外的时候，r 增大，$M$ 的质量却不变。

例题

题 1

TIP

如果割补法的题算出来的结果很整齐，必然是错的。

解

因为 $V_{\mathrm{球}}=\frac{4}{3}{\text{piR}}^3$，

所以 $\frac{V_{\mathrm{大}}}{V_{\mathrm{小}}}=\frac{r_{\mathrm{大}}^3}{r_{\mathrm{小}}^3}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8$

$F_{\mathrm{小}}=\frac{G\frac{1}{8}Mm}{(\frac{5}{2}R{)}^2}$

$F_{\mathrm{整}}=\frac{GMm}{4R^2}$

$F_{\mathrm{余}}=F_{\mathrm{整}}-F_{\mathrm{挖}}=\frac{23GMm}{100R^2}$

题 2

解

$G=mg$

$\frac{GMm}{R^2}=mg$

$\frac{G\frac{1}{8}Mm}{(\frac{1}{2}R{)}^2}=ma$

$\frac{4}{8}\frac{GMm}{R^2}=ma=0.5mg$

$a=0.5g$

$B$

题 3

解

$A$