11 竖直上抛 - 基础

定义

初速度竖直向上，$a=g$ 的匀变速直线运动。

换句话说，一段末速度为 0 的匀减速直线运动 + 一段自由落体运动。

全程 $a$ 恒定（a=g），最高点速度为 0。

匀变速直线运动的三种形式

1. 一种加速，越跑越快
2. 刹车，速度减到 0 停止
3. 速度减到 0，加速度还在，反向掉头

竖直上抛就属于匀变速直线运动的三种形式的第三种。

注意竖直上抛是指“上抛 + 下落”这个全过程。

做题分析思路

分段分析

上升阶段

利用等效思维，末速度为 0 的匀减速直线运动等效为初速度为 0 的匀加速直线运动。

求时间：$t_1=\frac{v_0}{g}$

求高度：

$v_0^2=2g{h}_1$

$h_1=\frac{1}{2}g{t}_1^2$

下降阶段

下降阶段就是自由落体运动。

求路程和位移

先求出 $h_1,h_2$ 的长度。

路程：

$h_1+h_2$

判断位移方向：

$h_2$ 短向上

$h_2$ 长向下

位移大小：

$|h_1-h_2|$

全程法

已知总时间/总位移时，可用全程法。

以竖直向上为正方向，直接列 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}g{t}^2$（g 为负数）

或 $v_t=v_0+gt$

若算出 $x>0$，说明位移竖直向上。

$x<0$，说明位移竖直向下。

TIP

在竖直上抛中，我们可以列一个全程的式子。

但是在刹车问题中，我们不能列全程式子，因为它在速度减为 0 后加速度就消失了。

例题

题 1

将一小球以 $10m/s$ 的初速度从离地 $15m$ 竖直上抛，若忽略空气阻力，g 取 $10m/s^2$，求：

（1）小球上升的最大高度

（2）小球从抛出到落回地面的时间

解

（1）

$v^2=2gh$

$h=\frac{v^2}{2g}=\frac{100}{20}=5m$

求的是上升的最大高度，不是离地高度，所以就是 5m。

（2）

$v=gt$

$t_1=\frac{v}{g}=1s$

$20=\frac{1}{2}g{t}_2^2$

$t_2=2s$

所以 $t=t_1+t_2=3s$

题 2

在空中某点以 $30m/s$ 的初速度竖直上抛一物体，不计空气阻力，g 取 10（）

$A.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{经}\mathrm{过}3s\mathrm{到}\mathrm{达}\mathrm{最}\mathrm{高}\mathrm{点}$

$B.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{在}\mathrm{最}\mathrm{高}\mathrm{点}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{为}0$

$C.3s\mathrm{后}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{改}\mathrm{变}\mathrm{方}\mathrm{向}$

$D.5s\mathrm{内}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{为}25m，\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{竖}\mathrm{直}\mathrm{向}\mathrm{上}$

解

$t=\frac{v}{g}=\frac{30}{10}=3s$

$h_1=\frac{v^2}{2g}=\frac{900}{20}=45m$

$h_2=\frac{1}{2}g{t}_2^2=\frac{1}{2}g4$

$=20m$

所以选 $AD$

题 3

某物体以 $30m/s$ 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取 10,5s 内物体的（）

$A.\mathrm{路}\mathrm{程}\mathrm{为}65m$

$B.\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{为}25m，\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{向}\mathrm{上}$

$C.\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{改}\mathrm{变}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{为}10m/s$

$D.\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{为}13m/s，\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{向}\mathrm{上}$

解

$h_1=\frac{v^2}{2g}=\frac{900}{20}=45m$

$t_1=\frac{v}{g}=3s$

$t_2=2s$

$h_2=\frac{1}{2}g{t}^2=5\times 4=20m$

$v_2=-20m/s$

所以 $AB$ 对。

速度改变量大小为 $|-20-30|=50$

平均速度为 $\frac{25}{5}=5m/s$

题 4

气球以 $10m/s$ 的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经 17s 到达地面。求物体刚脱离气球时气球的高度。（不计空气阻力，g=10）

解

$x=v_{0}t+\frac{1}{2}g{t}^2$

$x=10\times 17-5\times 17\times 17$

$x=17(5\times 2-5\times 17)$

$x=-1257m$

$1257$

题 5

矿井中的升降机从井底开始以 $5m/s$ 的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过 3s 升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取 $g=10m/s^2$，下列说法正确的是（）

$A.\mathrm{螺}\mathrm{钉}\mathrm{松}\mathrm{脱}\mathrm{后}\mathrm{做}\mathrm{自}\mathrm{由}\mathrm{落}\mathrm{体}\mathrm{运}\mathrm{动}$

$B.\mathrm{矿}\mathrm{井}\mathrm{的}\mathrm{深}\mathrm{度}\mathrm{为}45m$

$C.\mathrm{螺}\mathrm{钉}\mathrm{落}\mathrm{到}\mathrm{井}\mathrm{底}\mathrm{时}\mathrm{道}\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{为}25m/s$

$D.\mathrm{螺}\mathrm{钉}\mathrm{随}\mathrm{升}\mathrm{降}\mathrm{机}\mathrm{从}\mathrm{井}\mathrm{底}\mathrm{出}\mathrm{发}\mathrm{到}\mathrm{落}\mathrm{回}\mathrm{井}\mathrm{底}\mathrm{共}\mathrm{用}\mathrm{时}6s$

解

A 错，应该是竖直上抛运动。

B 对。

$x=v_{0}t+\frac{1}{2}g{t}^2$

$=5\times 3-5\times 9$

$=-30$

$H=30+3\times 5=45m$

运动速度的全程公式：

$v_t=v_0+at$

$=5-10\times 3=-25m/s$

C 对。

D 错。$6+3=9s$

题 6

以 $20m/s$ 的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点 15m 处，所经历的时间为（空气阻力不计，g 取 10）（）

$A.1s$

$B.2s$

$C.3s$

$D.(2+\sqrt{7})s$

解

由题意得，可能在抛出点上方或下方的 15m 处。

在上方：

$15=20t-5t^2$

解得 $t=1,3$

在下方：

$-15=20t-5t^2$

解得 $t=2+\sqrt{7}$（舍去负根）

选 $ACD$

题 1

以初速度 $v_0$ 从地面竖直上抛一物体，不计空气阻力，当物体速率减为 $\frac{v_0}{3}$ 时，所用时间可能是（）

$A.\frac{v_0}{3g}$

$B.\frac{2v_0}{3g}$

$C.\frac{v_0}{g}$

$D.\frac{4v_0}{3g}$

解

可能是上抛过程中速度减为 $\frac{v_0}{3}$，也可能是下落过程中速度加速到 $\frac{v_0}{3}$。

$v_0=\frac{v_0}{3}+g{t}_1$

$t_1=\frac{2v_0}{3g}$

$t_{\mathrm{上}}=\frac{v_0}{g}$

$t_2=t_{\mathrm{上}}+\frac{v_0}{3g}$

$=\frac{4v_0}{3g}$

选 $B,D$

例 2

一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点 A 的时间间隔为 5s，两次经过一个较高点 B 的时间间隔为 3s，则 AB 之间的距离是（g 取 10）（）

$A.80$

$B.60$

$C.40$

$D.20$

解

因为上抛过程和下落过程是对称的，所以可以只研究自由落体运动。

$t_B=1.5s$

$t_A=2.5s$

$x_{B\mathrm{顶}}=\frac{1}{2}\times 10\times 1.5\times 1.5$

$x_{A\mathrm{顶}}=\frac{1}{2}\times 10\times 2.5\times 2.5$

$x_{AB}=\frac{1}{2}\times 10\times (6.25-2.25)$

$=5\times 4$

$=20$

例 3

某人站在高层楼房的阳台外用 20m/s 的速度竖直向上抛出一个石块，则石块运动到离上抛初点 15m 处所经历的时间是多少？（不计空气阻力，取 g=10）

注意

这题一共有三个解！上抛初点上方 15m 处的点会经过 2 次。

上抛初点下方 15m 处的点会经过 1 次。

解

$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

在上方 15m 处，

$15=20t-\frac{1}{2}\times 10t^2$

$15=20t-5t^2$

$3=4t-t^2$

$t^2-4t+3=0$

$t=3\mathrm{或}t=1$

在下方 15m 处

$-15=20t-5t^2$

$t=2+\sqrt{7}\mathrm{或}t=2-\sqrt{7}（\mathrm{舍}\mathrm{去}）$

综上，$t=3\mathrm{或}1\mathrm{或}2+\sqrt{7}$