难度： 困难

标签： 导数问题恒成立问题未知极值点问题最值问题分类讨论

是否做正确： 做错了

是否属于易错题： 易错题

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=(1-a-x)sinx-(1+a+x)cosx,x\in [0,\pi ],a\in R.$

（1）若函数 $f(x)$ 在 $(\frac{\pi }{2},f(\frac{\pi }{2}))$ 处的切线斜率为 $\frac{\pi }{2}+1$，求 $a$ 的值；

（2）若任意 $x\in [0,\pi ],f(x)\ge 0$ 恒成立，求 a 的取值范围。

解

(2)

$f(x)=(1-a-x)sinx-(1+a+x)cosx,x\in [0,\pi ]$

$f(x)⩾0$ 恒成立，求 a 的取值范围。

$f^{\prime }(x)=-sinx+(1-a-x)cosx-[cosx-(1+a+x)sinx]$

$=(a+x)sinx-(a+x)cosx$

$=(a+x)sin(x-\frac{\pi }{4})$

题目要求的定义域是 $[0,\pi ]$，在 $R$ 上的极值点有 $-a,\frac{\pi }{4}$ 两个。

现在需要讨论 $-a$ 的位置。

1. 当 $-a⩽0$ 时，即 $a⩾0$（经过估算 $a=0$ 和 $a\le 0$ 函数的单调性是一样的）

$x\to 0,f^{\prime }(x)<0$

$\therefore f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 单调递减，在 $(\frac{\pi }{4},\pi )$ 单调递增

$f(x{)}_{min}=f(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-a-\frac{\pi }{4}-1-a-\frac{\pi }{4})$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}(-2a-\frac{\pi }{2})⩾0$

$\therefore a⩽-\frac{\pi }{4}$

无解。

2. 当 $0<-a<\frac{\pi }{4}$ 时，即 $-\frac{\pi }{4}<a<0$

$x\to 0,f^{\prime }(x)>0$

$\therefore f(x)$ 在 $(0,-a)$ 单调递增，

在 $(-a,\frac{\pi }{4})$ 单调递减，

在 $(\frac{\pi }{4},\pi )$ 单调递增

$f(0)=-1-a$

$\therefore \{\begin{array}{l}f(0)⩾0\\ f(\frac{\pi }{4})⩾0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a⩽-1\\ a⩽-\frac{\pi }{4}\end{array}$

无解。

3. 当 $-a=\frac{\pi }{4}$ 时，即 $a=-\frac{\pi }{4}$

$f^{\prime }(x)⩾0,x\in (0,\pi )$

$\therefore f(0)=-1-a⩾0$

$a⩽-1$

无解。

4. 当 $\frac{\pi }{4}<-a<\pi$ 时，即 $-\pi <a<-\frac{\pi }{4}$

同理可得

$\{\begin{array}{l}f(0)⩾0\\ f(-a)⩾0\end{array}$

$f(-a)=sin(-a)-cos(-a)=-sina-cosa$$=-sin(a+\frac{\pi }{4})$

因为前提条件是 $-\pi <a<-\frac{\pi }{4}$

$\therefore f(-a)⩾0$ 符合条件

$f(0)⩾0,a⩽-1$

所以 $-\pi \le a⩽-1$

5. 当 $-a⩾\pi$ 时，即 $a⩽-\pi$（经估算 $a=\pi$ 和 $a\le -\pi$ 函数的单调性是一样的）

$f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 单调递增

在 $(\frac{\pi }{4},\pi )$ 单调递减

$\{\begin{array}{l}f(0)⩾0\\ f(\pi )⩾0\end{array}$

$f(\pi )=1+a+\pi ⩾0$

$\{\begin{array}{l}a⩽-1\\ a⩾-1-\pi \end{array}$

所以 $-\pi -1⩽a⩽\pi$

综上，$a\in [-\pi -1,-1]$