06 题型技巧课：天体比例问题

题型特征

1. 已知俩天体一些物理量比值，求另一些物理量比值
2. 一口气求好多物理量比值

分析思路

法一，列表

	A	B
$r$
$T$
$\omega$
$v$
$a$

法二，找方程，用一个未知数表达另一个未知数，然后求比值。

例题

题 1

解

$\frac{GM}{r^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

$GM{T}^2=4{\pi }^2{r}^3$

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{r}^3}{4M}}$

$\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{r_1^3}{r_2^3}}=\sqrt{\frac{8}{1}}=2\sqrt{2}$

$C$

题 2

解

$\frac{GM}{r^2}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

$GM{T}^2=4{\pi }^2{r}^3$

$r^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}$

$r=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}$

$\frac{r_1}{r_2}=\sqrt[3]{\frac{T_1^2}{T_2^2}}$

$=\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{8}=2$

$A$

题 3

解

$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$

$GMr=r^2{v}^2$

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}=\sqrt{\frac{100+1700}{200+1700}}=\sqrt{\frac{18}{19}}$

$C$

题 4

解

$\frac{GMm}{r^2}=m{\omega }^{2}r$

$\omega =\sqrt{\frac{GM}{r^3}}$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\sqrt{\frac{r_2^3}{r_1^3}}$

A 错。

B 对。

$a=\frac{GM}{r^2}$

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$

C、D 错。

$B$

题 5

解

$\frac{GM}{r}=\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{r}^3}{GM}}$

$\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{r_1^3}{M_1}\frac{M_2}{r_2^3}}=\sqrt{\frac{q^3}{p}}$

$D$

题 6

解

	A	B
$r$	3	2
$T$	$3\sqrt{3}$	$2\sqrt{2}$
$\omega$	$2\sqrt{2}$	$3\sqrt{3}$
$v$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$
$a$	4	9

$C$

题 7

TIP

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

解

	A	B
$r$	1	4
$T$	1	8
$\omega$	8	1
$v$	2	1
$a$	16	1

$E=\frac{1}{2}m{v}^2$

$v_1^2:v_2^2=1:\frac{1}{4}$

$v_1:v_2=2:1$

$\frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}$

$r=\frac{GM}{v^2}$

$C$